Ejercicios: Derivada de un polinomio

Calcula la función derivada de la siguiente función polinómica: $f(x) = 5x^4 - 3x^3 + 7x^2 - 2x + 9$.

Dada la función que describe la trayectoria de una partícula $s(t) = \frac{1}{4}t^4 - \frac{2}{3}t^3 + \frac{1}{2}t^2$, donde $s$ se mide en metros y $t$ en segundos, determina la expresión de su velocidad instantánea $v(t)$.

Halla el valor de la derivada de la función $g(x) = -2x^3 + 4x^2 - x + 5$ en el punto de abscisa $x = -1$.

Determina los puntos singulares (aquellos donde la derivada se anula) de la función cuadrática $h(x) = 3x^2 - 12x + 7$.

Calcula la segunda derivada, $f''(x)$, de la función polinómica $f(x) = x^5 - 4x^4 + 2x^2 - 8$.

El coste de producción, en euros, de fabricar $x$ unidades de un producto artesanal viene dado por $C(x) = 150 + 12x - 0,05x^2$. Halla la función de coste marginal, $C'(x)$.

Determina la pendiente de la recta tangente a la curva $y = x^3 - 5x + 2$ en el punto donde interseca al eje de ordenadas.

Calcula la derivada de la función $p(x) = (2x^2 - 3)(x + 4)$ realizando primero el producto de los polinomios.

El perfil de un cable de un puente colgante se aproxima mediante la parábola $y = 0,01x^2 - 0,6x + 15$, donde $x$ e $y$ se miden en metros. Calcula la pendiente del cable en el punto situado a $40$ metros del origen.

Encuentra las coordenadas de los puntos de la gráfica de la función $f(x) = x^3 - 3x^2 + x - 1$ en los que la recta tangente es paralela a la bisectriz del primer cuadrante.

El número de usuarios registrados en una aplicación de productividad, en miles, evoluciona según la función $U(t) = -t^3 + 9t^2 + 48t + 200$, donde $t$ es el tiempo en meses desde su lanzamiento. Determina la tasa de crecimiento del número de usuarios en el instante $t = 5$ meses e indica si en ese momento el ritmo de crecimiento está aumentando o disminuyendo.

Determina los valores de los parámetros $a$ y $b$ para que la parábola $y = ax^2 + bx + 5$ pase por el punto $(1, 2)$ y tenga en ese punto una recta tangente con pendiente igual a $-3$.

Se lanza un proyectil verticalmente hacia arriba. Su altura en metros tras $t$ segundos viene dada por $h(t) = -4,9t^2 + 29,4t + 1,5$. Calcula el tiempo que tarda en alcanzar su altura máxima sabiendo que en dicho punto su velocidad instantánea es nula.

Halla la ecuación de la recta tangente a la función $f(x) = -x^2 + 4x - 1$ en su vértice.

El nivel de contaminación acústica en un cruce urbano desde las 8:00 hasta las 18:00 horas se modeliza mediante la función $N(t) = 0,1t^3 - 1,5t^2 + 6t + 60$, donde $t$ es el tiempo en horas transcurrido desde las 8:00. Determina el instante $t$ en el que el nivel de ruido disminuye más rápidamente.

Halla la abscisa de los puntos de la curva $y = \frac{1}{3}x^3 - \frac{5}{2}x^2 + 6x$ donde la recta tangente forma un ángulo de $45^\circ$ con el semieje positivo de abscisas.

Determina los coeficientes $a, b, c, d$ de la función polinómica de tercer grado $f(x) = ax^3 + bx^2 + cx + d$ sabiendo que pasa por el origen de coordenadas, tiene un punto singular en $x = 2$ y presenta un punto de inflexión en $(1, -2)$.

Una empresa fabrica y vende $x$ unidades de un artículo tecnológico. La función de ingresos viene dada por $I(x) = 1200x - 2x^2$ y la función de costes totales es $C(x) = x^3 - 15x^2 + 400x + 1500$. Determina el número de unidades que deben producirse para maximizar el beneficio y calcula dicho beneficio máximo.

Halla las ecuaciones de las rectas tangentes a la parábola $y = x^2 - 2x + 3$ que pasan por el punto exterior $P(1, -1)$.

Dos vehículos de prueba se desplazan en línea recta. Sus posiciones respecto a un punto de referencia vienen dadas por $s_1(t) = t^3 - 6t^2 + 15t$ y $s_2(t) = 2t^2 - 4t + 10$, con $t \ge 0$ en segundos y $s$ en metros. Determina en qué instantes de tiempo ambos vehículos circulan con la misma aceleración y calcula la distancia que los separa en ese momento.

Halla la ecuación de una parábola de la forma $y = ax^2 + bx + c$ sabiendo que es tangente a la recta $y = -2x + 5$ en el punto de abscisa $x = 1$ y que pasa por el punto $(-1, 15)$.

Un estudio medioambiental modeliza la concentración de un contaminante en un lago mediante la función $C(t) = -0,05t^4 + 0,8t^3 - 3,6t^2 + 10$, donde $t$ representa los meses transcurridos desde el inicio del año. Averigua en qué meses la concentración del contaminante está aumentando y en cuáles está disminuyendo.

Demuestra matemáticamente que la función polinómica $f(x) = x^3 + 2x + 5$ es estrictamente creciente en todo su dominio $\mathbb{R}$ y, por tanto, no posee ninguna recta tangente que sea paralela al eje de abscisas.

Dadas las parábolas $f(x) = x^2$ y $g(x) = -x^2 + 8x - 16$, determina las ecuaciones de todas las rectas que son tangentes a ambas curvas simultáneamente.