Ejercicios: Interpretación gráfica de la derivada

Calcula la ecuación de la recta tangente a la gráfica de la función $f(x) = x^2 - 4x + 5$ en el punto de abscisa $x = 3$.

Determina la ecuación de la recta normal a la curva $f(x) = x^3 - 2x$ en el punto de abscisa $x = -1$.

Encuentra las coordenadas de los puntos de la curva $f(x) = \frac{x^3}{3} - 2x^2 + 3x$ en los que la recta tangente es horizontal.

Observa la gráfica de la función $f(x)$ y la recta tangente trazada en el punto de abscisa $x = 1$. A partir de las coordenadas de los puntos $A$ y $B$ indicados sobre la recta, determina el valor de la derivada $f'(1)$.

Observa la gráfica de la función polinómica $f(x)$. Sin calcular su expresión analítica, determina el signo de la derivada $f'(x)$ en los puntos de abscisa $x = -2$, $x = 0$ y $x = 2$, indicando si en dichos puntos la función es creciente o decreciente.

Halla la ecuación de la recta tangente a la gráfica de la función racional $f(x) = \frac{2x+1}{x-3}$ en el punto exacto donde dicha gráfica interseca al eje de ordenadas.

La figura muestra la gráfica de una función cuadrática $f(x)$. A partir de sus elementos geométricos visibles (vértice y puntos de corte), deduce la expresión analítica de su función derivada $f'(x)$.

Determina en qué punto exacto de la gráfica de la función con radicales $f(x) = \sqrt{x+4}$ la recta tangente tiene una pendiente igual a $m = \frac{1}{4}$.

La trayectoria de un dron de inspección en un plano vertical sigue la curva definida por $y = x^3 - 6x^2 + 9x + 2$, donde $x$ e $y$ se miden en metros. Determina en qué puntos de su recorrido la dirección de su movimiento es paralela a la recta de ecuación $y = -3x + 5$.

Un arquitecto está diseñando el arco principal de un puente que sigue la forma de una parábola de ecuación $f(x) = ax^2 + bx + c$. Se sabe que el arco pasa por el punto $(0, 5)$ y que en el punto $(2, 9)$ la recta tangente tiene por ecuación $y = 4x + 1$. Calcula los valores exactos de los parámetros $a$, $b$ y $c$.

Un rayo de luz incide sobre un espejo parabólico cuya sección transversal responde a la función $f(x) = \frac{1}{4}x^2$. Si el rayo impacta en el punto de abscisa $x = 2$, halla la ecuación de la recta normal a la superficie en ese punto (la cual es fundamental en óptica geométrica para calcular el ángulo de reflexión).

La figura muestra la gráfica de la función derivada $f'(x)$ de una cierta función polinómica $f(x)$. A partir de ella, determina analíticamente los intervalos de crecimiento y decrecimiento de la función original $f(x)$, e indica las abscisas en las que $f(x)$ presenta sus extremos relativos.

El número de suscriptores de un canal de ciencia en una plataforma de vídeo crece según la función exponencial $S(t) = 500 e^{0,2t}$, donde $t$ se mide en semanas. Halla la ecuación de la recta tangente a la curva en el instante $t = 5$ y utilízala para estimar de forma lineal el número de suscriptores en $t = 6$.

Determina las coordenadas de los puntos de la curva definida por $f(x) = \frac{x^3}{3} - \frac{x^2}{2} - x + 1$ en los que su recta tangente forma un ángulo exacto de $45^\circ$ con el semieje positivo de abscisas.

Dadas las funciones polinómicas $f(x) = x^2 - 3x + 2$ y $g(x) = -x^2 + 7x - 6$, halla primero los puntos de intersección de sus gráficas. A continuación, calcula la ecuación de la recta tangente a la función $f(x)$ en el punto de intersección que tenga mayor abscisa.

En el diseño de una carretera de montaña, un tramo recto dado por la ecuación $y = 2x$ (para $x \le 1$) debe unirse suavemente a otro tramo recto de ecuación $y = -x + 6$ (para $x \ge 3$) mediante una curva de transición parabólica $f(x) = ax^2 + bx + c$ definida estrictamente en el intervalo $[1, 3]$. Calcula los valores de $a$, $b$ y $c$ para que la carretera sea continua y derivable en ambos puntos de conexión ($x=1$ y $x=3$).

Halla las ecuaciones de todas las rectas tangentes a la curva $f(x) = x^2 - 2x + 3$ que pasan por el origen de coordenadas $(0,0)$. Nota: ten en cuenta que el origen no pertenece a la curva.

Determina los valores exactos de los parámetros $a$, $b$, $c$ y $d$ para que la función cúbica $f(x) = ax^3 + bx^2 + cx + d$ tenga un extremo relativo en el punto $(0, 2)$ y su recta tangente en el punto $(1, 0)$ sea estrictamente paralela a la recta $y = -3x$.

Demuestra algebraicamente que la gráfica de la función racional $f(x) = \frac{x^2 + x + 1}{x-1}$ no tiene en todo su dominio ninguna recta tangente que sea paralela a la recta de ecuación $y = 2x$.

Calcula el área exacta del triángulo formado por el eje de abscisas, la recta tangente y la recta normal a la curva logarítmica $f(x) = \ln(x)$ en el punto de abscisa $x = e$.

Determina para qué conjunto de valores del parámetro $k$ la función racional $f(x) = \frac{x^2 + kx + 1}{x-2}$ carece de rectas tangentes horizontales en cualquier punto de su dominio.

Las gráficas de las funciones cuadráticas $f(x) = x^2 + ax + b$ y $g(x) = -x^2 + 2x - 1$ son tangentes entre sí en el punto de abscisa $x = 1$ (es decir, comparten el mismo punto y la misma recta tangente en dicho punto). Calcula los valores de $a$ y $b$, y proporciona la ecuación de dicha recta tangente común.

La figura representa la gráfica de la función derivada $f'(x)$ (compuesta por dos segmentos rectos) de una función continua $f(x)$. Basándote exclusivamente en esta gráfica, identifica las abscisas de los extremos relativos de $f(x)$ clasificándolos en máximos o mínimos, e indica la abscisa del punto de inflexión de la función original.

Sea la función $f(x) = x^3 - 3x^2 + kx$. Determina el valor del parámetro $k$ sabiendo que la recta tangente a la gráfica de $f(x)$ en su punto de inflexión es paralela a la recta bisectriz del segundo y cuarto cuadrante.