Ejercicios: Interpretación física de la derivada

La posición de un objeto en caída libre viene dada por la función $s(t) = 100 - 4,9t^2$, donde $s$ se mide en metros y $t$ en segundos. Determina la función que describe su velocidad $v(t)$ y su aceleración $a(t)$.

Un tren se desplaza por una vía recta con una ecuación de movimiento $e(t) = 2t^3 - 5t^2 + 8t$, con $e$ en metros y $t$ en segundos. Calcula la velocidad del tren en el instante $t = 2$ s.

La posición de una partícula en función del tiempo es $x(t) = t^4 - 3t^2 + 5$. Determina la aceleración de la partícula en el instante $t = 1$.

Un globo aerostático asciende de modo que su altura en metros viene dada por $h(t) = 15t - t^2$. ¿En qué instante $t$ se hace nula su velocidad?

El volumen de agua en un depósito cambia según la función $V(t) = 50 + 4t - t^3$, donde $V$ está en litros y $t$ en minutos. Halla la tasa de variación instantánea del volumen en el instante $t = 1$ e indica si el depósito se está llenando o vaciando en ese momento.

Un coche de pruebas tiene una velocidad dada por la función $v(t) = 3t^2 - 12t + 4$ en m/s. Calcula su aceleración en el instante $t = 3$ s.

La carga eléctrica que atraviesa una sección de un cable en función del tiempo es $q(t) = 2t^2 + 3t$ culombios. Sabiendo que la intensidad de corriente es la derivada de la carga respecto al tiempo, calcula la intensidad en $t = 4$ s.

La altura de un proyectil en metros es $y(t) = 40t - 5t^2$. Calcula la velocidad media en el intervalo $[1, 3]$ y compárala con la velocidad instantánea en $t = 2$.

Se lanza un cohete de juguete verticalmente hacia arriba. Su altura en metros tras $t$ segundos es $h(t) = 30t - 4,9t^2$. Determina el tiempo que tarda en alcanzar su altura máxima y calcula el valor exacto de dicha altura.

La temperatura de un horno industrial durante un proceso de enfriamiento viene dada por $T(t) = 200 - 10t + 0,5t^2$ en grados Celsius, con $t$ en minutos. Calcula la velocidad de enfriamiento (tasa de variación instantánea de la temperatura) en $t = 5$ min y en $t = 15$ min. Interpreta el significado físico de los signos obtenidos.

Un vehículo frena bruscamente y la distancia recorrida en metros desde que se pisan los frenos es $d(t) = 24t - 3t^2$. ¿Cuánto tiempo tarda el vehículo en detenerse por completo? ¿Qué distancia total recorrió durante la frenada?

Una mancha de aceite en el mar tiene forma circular y su radio en metros crece según la función $r(t) = \frac{20t}{t+2}$, donde $t$ es el tiempo en horas. Encuentra la velocidad a la que crece el radio en el instante $t = 3$ horas. ¿Crece más rápido al principio o al cabo de unas horas? Justifica tu respuesta utilizando el concepto de aceleración o analizando la derivada.

La posición de un oscilador armónico acoplado a un muelle es $x(t) = 5 \sin(2t)$ en centímetros. Calcula su velocidad y su aceleración en función del tiempo. Demuestra que la aceleración es proporcional a la posición, es decir, $a(t) = k \cdot x(t)$, y encuentra el valor de la constante $k$.

El coste de producción de $x$ unidades de un componente electrónico es $C(x) = 1500 + 10x - 0,05x^2$ euros. El coste marginal se define como la derivada del coste respecto al número de unidades. Calcula el coste marginal para $x = 50$ unidades y explica qué representa este valor en el contexto de la fábrica.

Un depósito cónico se vacía de manera que el volumen de agua en su interior es $V(t) = 1000 \left(1 - \frac{t}{20}\right)^3$ litros, para $0 \leq t \leq 20$ minutos. Calcula el caudal de salida de agua (tasa de variación instantánea del volumen) en el instante $t = 10$ minutos.

La posición de una partícula viene dada por $s(t) = \frac{t^3}{3} - 3t^2 + 8t$. Determina los intervalos de tiempo en los que la partícula avanza hacia la derecha ($v(t) > 0$) y en los que retrocede hacia la izquierda ($v(t) < 0$).

Dos coches de carreras, A y B, se desplazan por vías rectas y paralelas. Sus posiciones respecto a la línea de salida vienen dadas por $s_A(t) = t^3 - 6t^2 + 15t$ y $s_B(t) = 2t^2 + 3t$. Determina en qué instantes $t$ ambos coches circulan a la misma velocidad. Para esos instantes, calcula y compara la aceleración de cada coche.

Un proyectil se lanza verticalmente desde una plataforma. Su altura en metros viene dada por $h(t) = at^2 + bt + c$. Sabemos que la plataforma está a $15$ m del suelo, que la velocidad inicial de lanzamiento es de $20$ m/s hacia arriba, y que la aceleración debida a la gravedad es constante e igual a $-9,8$ m/s$^2$. Utilizando la relación entre posición, velocidad y aceleración mediante derivadas, halla los valores de $a$, $b$ y $c$. A continuación, calcula la altura máxima alcanzada.

La velocidad de una partícula que se mueve en línea recta es $v(t) = \frac{t^2 - 1}{t^2 + 1}$ m/s. Calcula la función aceleración $a(t)$. Determina en qué instante de tiempo $t \geq 0$ la aceleración es máxima y calcula dicho valor máximo.

La carga en un condensador de un circuito eléctrico varía con el tiempo según la expresión $q(t) = q_0 \left(1 - e^{-t/RC}\right)$, donde $q_0$, $R$ y $C$ son constantes positivas. La intensidad de corriente es $i(t) = q'(t)$. Demuestra que la intensidad disminuye exponencialmente con el tiempo y calcula el valor límite de la carga y de la intensidad cuando $t \to +\infty$.

Un robot de exploración se mueve a lo largo de un riel recto. Su posición en metros durante los primeros $5$ segundos viene dada por $x(t) = t^3 - 6t^2 + 9t + 2$. Calcula la distancia total real que ha recorrido el robot en el intervalo $t \in [0, 5]$. Ten en cuenta que la distancia total no es simplemente $x(5) - x(0)$, sino que debes analizar los cambios de sentido del movimiento utilizando la velocidad.

La ley de enfriamiento de Newton establece que la tasa de cambio de la temperatura $T(t)$ de un objeto es proporcional a la diferencia entre su temperatura y la del medio ambiente $T_a$, es decir, $T'(t) = -k(T(t) - T_a)$. Verifica que la función $T(t) = T_a + (T_0 - T_a)e^{-kt}$ cumple esta ecuación diferencial. Si $T_a = 20^\circ$C, $T_0 = 100^\circ$C y la velocidad de enfriamiento en el instante inicial $t=0$ es de $-4^\circ$C/min, calcula el valor de $k$.

La potencia consumida por un dispositivo electrónico depende del voltaje aplicado según la función $P(v) = \frac{v^3}{v^2 + 4}$ milivatios. La tasa de variación de la potencia respecto al voltaje se denomina conductancia dinámica $G(v) = P'(v)$. Determina para qué valores de voltaje $v$ la conductancia dinámica es exactamente $1$ milivatio/voltio.

Un globo meteorológico asciende verticalmente. Su altura en metros se modela mediante una función definida a trozos:

$h(t) = \begin{cases} 2t^2 & \text{si } 0 \leq t \leq 10 \\ at + b - \frac{100}{t} & \text{si } t > 10 \end{cases}$

Determina los valores de los parámetros $a$ y $b$ para que la posición y la velocidad del globo sean continuas en el instante $t = 10$. Una vez hallados, calcula la aceleración del globo para $t > 10$ y discute qué ocurre con la velocidad a largo plazo (cuando $t \to +\infty$).