Ejercicios: Definición de derivada de una función en un punto

Calcula, utilizando la definición de derivada mediante el límite $f'(a) = \lim_{h \to 0} \frac{f(a+h) - f(a)}{h}$, el valor de $f'(2)$ para la función $f(x) = x^2 + 3$.

Halla la tasa de variación instantánea (derivada) de la función $f(x) = 3x - 5$ en el punto de abscisa $x = 1$, aplicando el límite del cociente de incrementos.

El espacio recorrido por un objeto en caída libre en un planeta ficticio viene dado por $s(t) = 4t^2$, donde $s$ se mide en metros y $t$ en segundos. Calcula la velocidad instantánea en $t = 3$ s aplicando la definición de derivada como límite.

Dada la función $f(x) = 2x^2 - x$, utiliza la expresión alternativa de la definición $f'(a) = \lim_{x \to a} \frac{f(x) - f(a)}{x - a}$ para encontrar la derivada en el punto $a = -1$.

Demuestra, calculando explícitamente los límites laterales del cociente de incrementos, que la función de valor absoluto $f(x) = |x - 3|$ no es derivable en el punto $x = 3$.

Un ciclista en un velódromo recorre una distancia dada por la función $d(t) = t^2 + 5t$ (medida en metros, con $t$ en segundos). Calcula su velocidad instantánea en $t = 2$ segundos usando estrictamente la definición de derivada por límites.

Halla la ecuación de la recta tangente a la curva $f(x) = x^2$ en el punto de abscisa $x = 2$. Para ello, calcula primero la pendiente $m = f'(2)$ utilizando la definición de derivada mediante el límite.

Calcula la derivada de la función constante $f(x) = 7$ en el punto $x = 5$ aplicando la definición formal con el límite. Explica brevemente el significado geométrico del resultado obtenido.

Utilizando la definición de derivada mediante límites, calcula $f'(3)$ para la función racional $f(x) = \frac{1}{x - 1}$.

Halla la derivada de la función con radicales $f(x) = \sqrt{x + 5}$ en el punto $x = 4$, aplicando la definición de derivada como límite y operando con el conjugado para resolver la indeterminación.

En una fábrica de componentes tecnológicos, el coste total de producción de $q$ unidades viene dado por la función $C(q) = 100 + 2q + 0,1q^2$ en euros. Determina el coste marginal (la derivada de la función de coste) cuando se producen exactamente $q = 20$ unidades, resolviendo el límite de la definición formal de derivada.

Estudia si la siguiente función definida a trozos es derivable en $x = 2$, comprobando previamente su continuidad y aplicando después la definición de derivadas laterales:

$f(x) = \begin{cases} x^2 & \text{si } x \le 2 \\ 4x - 4 & \text{si } x > 2 \end{cases}$

Halla la ecuación de la recta tangente a la función $f(x) = \frac{x}{x + 2}$ en el origen de coordenadas. Debes calcular la pendiente evaluando el límite de la definición de derivada en $x = 0$.

La altitud de un dron de observación agrícola sigue la ecuación $h(t) = -5t^2 + 20t + 2$, con la altura $h$ expresada en metros y el tiempo $t$ en segundos. Utilizando la definición de derivada mediante el límite para un punto genérico $t$, obtén la función velocidad $v(t) = h'(t)$ y determina en qué instante exacto el dron alcanza su altura máxima (cuando su velocidad es nula).

La gráfica adjunta muestra una función continua que presenta un punto anguloso. Define analíticamente una función con valor absoluto que se corresponda con dicha gráfica y demuestra rigurosamente, calculando los límites laterales del cociente de incrementos, por qué la función no es derivable en $x = 2$.

Calcula, mediante la definición de derivada con el límite para un punto genérico $x$, la función derivada $f'(x)$ de $f(x) = x^3 - 3x$. A continuación, utiliza el resultado obtenido para encontrar los puntos de la curva donde la recta tangente es completamente horizontal.

Determina los valores exactos de los parámetros $a$ y $b$ para que la función definida a trozos

$f(x) = \begin{cases} ax^2 + b & \text{si } x < 1 \\ \frac{1}{x} & \text{si } x \ge 1 \end{cases}$

sea derivable en $x = 1$. Debes justificar tu respuesta aplicando la definición de continuidad y evaluando los límites de las derivadas laterales mediante el cociente de incrementos.

Calcula la derivada de la función $f(x) = \sqrt{x^2 + 3}$ en el punto $x = 1$ recurriendo exclusivamente a la definición de derivada como límite. Muestra todos los pasos algebraicos necesarios para levantar la indeterminación.

Supón que $f(x)$ es una función par (es decir, cumple que $f(-x) = f(x)$ para todo número real $x$) y que se sabe que es derivable en el punto de abscisa $x = 0$. Demuestra analíticamente, utilizando la definición de derivada mediante el límite $\lim_{h \to 0} \frac{f(h) - f(0)}{h}$, que necesariamente se debe cumplir que $f'(0) = 0$.

La temperatura $T$ (medida en grados Celsius) de un procesador de ordenador en función del tiempo $t$ (en minutos) tras iniciar un proceso intensivo de cálculo viene dada por la expresión $T(t) = \frac{4t}{t^2 + 1} + 30$. Calcula el ritmo de calentamiento instantáneo (la derivada) exactamente en $t = 2$ minutos, evaluando paso a paso el límite de la definición de derivada.

Encuentra las ecuaciones de todas las rectas tangentes a la curva $f(x) = x^3 - x$ que sean estrictamente paralelas a la recta de ecuación $y = 2x + 1$. Para resolverlo, debes obtener primero la expresión general de la pendiente $f'(x)$ aplicando la definición de derivada por límites.

Dada la función $f(x) = x|x|$, demuestra mediante la definición de derivada calculando los límites laterales del cociente de incrementos, que la función es suave (derivable) en $x = 0$ y halla el valor exacto de $f'(0)$.

Empleando la definición general de derivada $f'(x) = \lim_{h \to 0} \frac{f(x+h) - f(x)}{h}$, demuestra paso a paso que la función derivada de $f(x) = \frac{1}{\sqrt{x}}$ es exactamente $f'(x) = -\frac{1}{2x\sqrt{x}}$ para cualquier valor de $x > 0$.

El beneficio trimestral de una empresa de energías renovables en función de su inversión $x$ (en millones de euros) sigue un modelo cuadrático de la forma $B(x) = -ax^2 + bx$. Sabiendo que el beneficio máximo se alcanza con una inversión exacta de $10$ millones de euros y que dicho beneficio máximo asciende a $500$ millones, deduce los valores de las constantes $a$ y $b$. Posteriormente, demuestra mediante la definición de derivada por límites que la tasa de variación instantánea en ese punto cumple $B'(10) = 0$.