Ejercicios: Crecimiento y extremos con la derivada

Se sabe que la derivada de una función $f$ cumple $f'(3) = -2$. Sin conocer la expresión de $f$, razona si la función es creciente o decreciente en el punto $x = 3$ y explica qué significa ese valor para la recta tangente en ese punto.

Determina los intervalos de crecimiento y de decrecimiento de la función $f(x) = x^3 - 3x$ estudiando el signo de su derivada.

Halla el extremo relativo de la función $f(x) = x^2 - 6x + 5$ utilizando la derivada, y razona si se trata de un máximo o de un mínimo.

Calcula los puntos singulares de la función $f(x) = x^3 - 12x + 1$, es decir, los puntos en los que su derivada se anula.

La derivada de una función es $f'(x) = (x - 1) \cdot (x - 4)$. Estudiando el signo de cada factor en la recta real, determina los intervalos de crecimiento y de decrecimiento de $f$ y localiza sus extremos relativos.

Determina los intervalos de monotonía de la función $f(x) = 2x^3 - 9x^2 + 12x - 3$.

La figura muestra la gráfica de la derivada $f'$ de una función $f$, que corta al eje de abscisas en $x = -1$ y en $x = 3$. Observando el signo de $f'$ en la figura, indica los intervalos de crecimiento y de decrecimiento de $f$ y en qué puntos tiene extremos relativos.

Razona si la siguiente afirmación es verdadera o falsa: «Si $f'(a) = 0$, entonces $f$ tiene un máximo o un mínimo relativo en $x = a$». La figura, que muestra la función $f(x) = x^3$ y su tangente en el origen, puede ayudarte a decidir.

En una feria, un cohete lanzacohetes de agua alcanza una altura $h(t) = -4t^2 + 24t + 1$ metros a los $t$ segundos del lanzamiento. Utilizando la derivada, calcula en qué instante alcanza la altura máxima y cuánto vale esa altura.

Sea la función $f(x) = x^3 - 3x^2 - 9x + 2$.

1. a) Calcula su derivada y halla sus puntos singulares.

1. b) Determina los intervalos de crecimiento y de decrecimiento.

1. c) Clasifica cada punto singular como máximo o mínimo relativo e indica el valor de la función en ellos.

Un pequeño taller fabrica $x$ bicicletas al mes y el coste medio por bicicleta, en euros, viene dado por $C(x) = x + \frac{1600}{x}$, con $x > 0$. Halla el número de bicicletas que hace mínimo el coste medio y el valor de dicho coste mínimo, comprobando con el signo de la derivada que se trata efectivamente de un mínimo.

Tras administrar un medicamento, su concentración en sangre, en $\text{mg/l}$, sigue el modelo $C(t) = 10t \cdot e^{-0,5t}$, con $t \geq 0$ medido en horas, representado en la figura.

1. a) Calcula $C'(t)$.

1. b) Determina en qué instante la concentración es máxima.

1. c) Estudia en qué intervalos la concentración aumenta y en cuáles disminuye.

Halla el valor del parámetro $b$ para que la función $f(x) = x^2 + bx + 3$ tenga un mínimo relativo en el punto $x = 2$. Con ese valor de $b$, calcula el valor mínimo de la función.

Un alumno estudia la monotonía de $f(x) = x^3 - 3x^2$ y escribe: «$f'(x) = 3x^2 - 6x$, que se anula en $x = 0$ y en $x = 2$; por tanto, $f$ es creciente en $(0, 2)$ y decreciente en el resto». Detecta el error que ha cometido en la conclusión, corrígelo estudiando bien el signo de $f'$ y escribe los intervalos de monotonía correctos.

La figura muestra la gráfica de una función $f$ definida en $[-3, 4]$, con sus dos extremos relativos señalados. Leyendo la gráfica:

1. a) Indica los intervalos de crecimiento y de decrecimiento de $f$.

1. b) Estima las coordenadas del máximo y del mínimo relativos.

1. c) Indica también el máximo y el mínimo absolutos de $f$ en $[-3, 4]$.

Los organizadores de un festival estiman que, si venden la entrada a $x$ euros, acudirán $400 - 8x$ personas, de modo que el ingreso es $I(x) = x \cdot (400 - 8x)$ euros, con $0 \leq x \leq 50$.

1. a) Determina los intervalos en los que el ingreso aumenta y aquellos en los que disminuye al subir el precio.

1. b) Halla el precio que maximiza el ingreso y el valor de dicho ingreso máximo.

Estudia la monotonía completa de la función $f(x) = \frac{x}{x^2 + 1}$: intervalos de crecimiento y decrecimiento, extremos relativos con sus valores, y comportamiento cuando $x \to \pm \infty$.

La función $f(x) = x^3 + ax^2 + bx$ tiene un extremo relativo en el punto $(1, -2)$.

1. a) Plantea las dos condiciones que deben cumplir $a$ y $b$ y calcula sus valores.

1. b) Con esos valores, localiza el otro extremo relativo de la función y clasifica ambos.

Considera la función $f(x) = x^3 + x - 1$.

1. a) Demuestra, estudiando el signo de $f'(x)$, que $f$ es estrictamente creciente en todo $\mathbb{R}$.

1. b) Razona, a partir del apartado anterior y de los valores $f(0)$ y $f(1)$, cuántas soluciones reales tiene la ecuación $x^3 + x - 1 = 0$.

Sea $f(x) = x^3 - 3x + 1$ definida en el intervalo cerrado $[-2, 3]$.

1. a) Localiza sus puntos singulares dentro del intervalo.

1. b) Calcula el valor de $f$ en los puntos singulares y en los extremos del intervalo.

1. c) Determina el máximo y el mínimo absolutos de $f$ en $[-2, 3]$ y razona por qué no basta con mirar los puntos singulares.

El índice de calidad del aire de una ciudad durante un día de episodio de contaminación se modela, en el periodo $0 \leq t \leq 24$ horas, por $I(t) = t^3 - 27t^2 + 216t + 50$.

1. a) Halla los instantes en los que la tendencia del índice cambia.

1. b) Determina los tramos horarios en los que el índice empeora (aumenta) y aquellos en los que mejora (disminuye).

1. c) Determina el valor máximo del índice entre las $0$ y las $14$ horas y a qué hora se alcanza.

1. d) Razona si el modelo seguiría siendo válido para predecir el índice varios días después.

Estudia la monotonía y los extremos de la función $f(x) = x \cdot e^{-x}$ en todo $\mathbb{R}$, indicando el valor del extremo relativo y el límite de la función cuando $x \to +\infty$.

Se quiere demostrar que $e^x \geq 1 + x$ para todo $x \geq 0$ usando la monotonía.

1. a) Define $f(x) = e^x - 1 - x$ y estudia el signo de $f'(x)$ para $x \geq 0$.

1. b) Calcula $f(0)$ y deduce, de la monotonía de $f$, que $f(x) \geq 0$ para todo $x \geq 0$.

1. c) Concluye la desigualdad pedida y razona si también es válida para $x < 0$.

La figura muestra la gráfica de la derivada $f'$ de cierta función $f$ derivable en todo $\mathbb{R}$; la curva corta al eje de abscisas exactamente en $x = -2$, $x = 1$ y $x = 4$.

1. a) Indica en qué puntos tiene $f$ extremos relativos y clasifícalos estudiando el signo de $f'$.

1. b) ¿Es posible conocer el valor que toma $f$ en esos extremos a partir de la gráfica de $f'$? Razona tu respuesta.