Ejercicios: Regla de Ruffini

Divide el polinomio $P(x) = 3x^3 - 2x^2 + 5x - 4$ entre el binomio $x - 2$ utilizando la regla de Ruffini e indica el cociente y el resto resultantes.

Aplica la regla de Ruffini para realizar la división de $P(x) = x^4 - 16$ entre $x + 2$. Escribe claramente el polinomio cociente y el valor del resto.

Comprueba, utilizando la regla de Ruffini, si $x = 3$ es una raíz del polinomio $P(x) = x^3 - 4x^2 + x + 6$.

Calcula el valor numérico del polinomio $P(x) = -2x^3 + 5x^2 - 3x + 1$ para $x = -1$ aplicando el teorema del resto mediante la regla de Ruffini.

Determina el valor de la constante $k$ para que el polinomio $P(x) = x^3 - kx^2 + 3x - 2$ sea divisible exactamente por $x - 1$.

Factoriza el polinomio $P(x) = x^3 - 2x^2 - 5x + 6$ sabiendo de antemano que $x = 1$ es una de sus raíces.

Halla el resto de la división del polinomio $P(x) = x^5 + 3x^4 - 2x^2 + 7$ entre $x + 3$ aplicando la regla de Ruffini.

Determina, sin realizar la división completa y utilizando el teorema del resto o la regla de Ruffini, si el binomio $x + 1$ es un factor del polinomio $P(x) = x^4 + x^3 - x^2 + x + 2$.

El volumen de una caja con forma de prisma rectangular recto viene dado por el polinomio $V(x) = x^3 + 5x^2 + 2x - 8$. Si se sabe que la altura de la caja es $x - 1$, determina el polinomio que representa el área de la base $A(x)$.

Los beneficios de una empresa, en miles de euros, se modelizan durante sus primeros años de actividad mediante el polinomio $B(x) = -x^3 + 10x^2 - 31x + 30$, donde $x$ representa el tiempo en años. Encuentra los años exactos en los que el beneficio de la empresa fue nulo (puntos de equilibrio).

Divide el polinomio $P(x) = 2x^3 - 5x^2 + 3x - 1$ entre el binomio $x - \frac{1}{2}$ empleando la regla de Ruffini. Expresa el resultado final indicando cociente y resto.

Determina los valores de los parámetros $m$ y $n$ para que el polinomio $P(x) = x^4 - 3x^3 + mx + n$ sea divisible exactamente por $x - 2$ y, al mismo tiempo, dé un resto de $4$ al dividirlo entre $x + 1$.

La posición de una partícula en movimiento rectilíneo viene dada por la ecuación $s(t) = t^3 - 7t^2 + 14t - 8$, donde $t$ es el tiempo en segundos. Determina en qué instantes de tiempo la partícula pasa por el origen de coordenadas ($s(t) = 0$).

Calcula el valor numérico del polinomio $P(x) = x^4 - 2,5x^3 + 1,5x^2 - 3x + 2$ para $x = 2$ utilizando exclusivamente la disposición de la regla de Ruffini.

El área de un panel solar de forma rectangular se describe mediante el polinomio $A(x) = 2x^3 + 7x^2 + 4x - 3$. Si se conoce que la medida del ancho del panel es $x + 3$, encuentra el polinomio que representa su longitud.

Factoriza completamente el polinomio $P(x) = 2x^3 + 3x^2 - 8x + 3$ hallando todas sus raíces.

Encuentra los valores de $a$ y $b$ para que el polinomio $P(x) = x^4 + ax^3 + bx^2 - 12x + 4$ sea divisible por $(x - 2)^2$.

Realiza la división del polinomio $P(x) = 4x^3 - 8x^2 + 7x - 3$ entre el binomio $2x - 3$ utilizando la regla de Ruffini. Ten en cuenta que debes adaptar el divisor para poder aplicar el algoritmo y, posteriormente, ajustar el cociente y el resto obtenidos.

El volumen de un casquete esférico viene dado por la fórmula $V = \frac{\pi h^2}{3}(3R - h)$, donde $R$ es el radio de la esfera y $h$ la altura del casquete. Si el radio de una esfera es $R = 5\text{ cm}$ y se quiere obtener un casquete con un volumen de $V = \frac{52\pi}{3}\text{ cm}^3$, plantea la ecuación correspondiente y utiliza la regla de Ruffini para encontrar la altura $h$.

Factoriza completamente el polinomio de quinto grado $P(x) = x^5 - 5x^4 + 7x^3 - 2x^2 + 4x - 8$ en polinomios irreducibles sobre los números reales.

Aplica la regla de Ruffini para dividir el polinomio $P(x) = x^5 - 32$ entre $x - 2$. A partir del patrón observado en los coeficientes del cociente, deduce y escribe la expresión general del polinomio cociente al dividir $x^n - a^n$ entre $x - a$.

La temperatura de una reacción química en función del tiempo $t$ (en minutos) se modeliza mediante el polinomio $T(t) = -t^4 + 8t^3 - 17t^2 + 10t$. Determina en qué instantes de tiempo la temperatura de la reacción es exactamente de $0^\circ\text{C}$.

Encuentra la expresión de un polinomio de tercer grado $P(x)$ cuyo coeficiente principal sea $1$, sabiendo que se anula para $x = 1$ y $x = 2$, y que al dividirlo entre $x - 3$ se obtiene un resto de $10$.

Resuelve la inecuación polinómica $x^4 - 5x^3 + 5x^2 + 5x - 6 \ge 0$. Para ello, factoriza primero el polinomio utilizando la regla de Ruffini y luego estudia el signo en los intervalos correspondientes de la recta real.