Ejercicios: Factorización de polinomios

Extrae factor común y utiliza las identidades notables para factorizar al máximo el siguiente polinomio:

$P(x) = 3x^5 - 12x^3$

Factoriza el siguiente polinomio de tercer grado sabiendo que una de sus raíces es $x = 2$:

$P(x) = x^3 - 7x^2 + 16x - 12$

Halla las raíces enteras del polinomio $P(x) = x^3 + 2x^2 - 5x - 6$ mediante la regla de Ruffini y exprésalo en su forma factorizada.

Escribe en forma factorizada el polinomio $P(x) = x^4 - 81$ aplicando la identidad de la diferencia de cuadrados de forma sucesiva.

Indica cuáles son las raíces del polinomio $P(x) = 5(x+3)^2(x-1)(x^2+4)$ y sus respectivas multiplicidades. Justifica por qué este polinomio no tiene más raíces reales.

Factoriza el polinomio $P(x) = 2x^2 + 5x - 3$ resolviendo previamente la ecuación de segundo grado asociada.

Comprueba, utilizando el Teorema del Resto, si $x = -1$ es raíz del polinomio $P(x) = x^4 + 3x^3 - 2x^2 + x + 7$. En caso afirmativo, extrae el factor correspondiente.

Factoriza completamente el polinomio bicuadrado $P(x) = x^4 - 5x^2 + 4$.

Determina el valor del parámetro $m$ para que el polinomio $P(x) = x^3 - mx^2 + 4x - 4$ sea divisible por el binomio $x - 2$. Una vez hallado el valor de $m$, factoriza completamente el polinomio en el conjunto de los números reales.

El volumen de una caja rectangular en función de su longitud $x$ viene dado por la expresión polinómica $V(x) = x^3 - 7x^2 + 10x$. Factoriza $V(x)$ para encontrar las expresiones algebraicas más simples que representan las tres dimensiones de la caja.

Factoriza el polinomio $P(x) = 3x^4 + 5x^3 - 17x^2 - 13x + 6$. Ten en cuenta que algunas de sus raíces pueden ser números fraccionarios.

Un biólogo modela el crecimiento y decrecimiento de una población de bacterias mediante el polinomio $N(t) = -t^4 + 10t^3 - 35t^2 + 50t - 24$, donde $t$ es el tiempo en horas. Factoriza el polinomio para determinar en qué instantes exactos la población se anula.

Simplifica la siguiente fracción algebraica factorizando previamente el numerador y el denominador al máximo:

$\frac{x^3 - 3x^2 - 4x + 12}{x^3 - 5x^2 + 6x}$

Factoriza el polinomio $P(x) = (x^2 - 4)^2 - (x + 2)^2$ utilizando identidades notables y extrayendo factores comunes, sin necesidad de desarrollar todo el polinomio primero.

La trayectoria de un dron de carreras en un tramo de exhibición sigue el perfil polinómico $h(x) = 2x^4 - 14x^3 + 30x^2 - 18x$, donde $x$ es la distancia horizontal en metros y $h(x)$ la altura en metros. Factoriza $h(x)$ para encontrar los puntos exactos donde el dron toca el suelo ($h(x) = 0$).

Determina un polinomio de cuarto grado, $P(x)$, que sea mónico (coeficiente principal 1), que tenga a $x = -2$ como raíz doble, a $x = 3$ como raíz simple, y que carezca de término independiente. Escríbelo en su forma factorizada y en su forma general desarrollada.

Calcula los valores de los parámetros $a$ y $b$ para que el polinomio $P(x) = x^4 + ax^3 + bx^2 - 12x + 8$ sea divisible por el polinomio $Q(x) = x^2 - 4$. A continuación, factoriza $P(x)$ al máximo.

El diseño del perfil de una pieza mecánica de precisión se define mediante la función polinómica $P(x) = x^5 - x^4 - 7x^3 + x^2 + 6x$. Factoriza el polinomio para encontrar las coordenadas exactas de los puntos de anclaje de la pieza en el eje horizontal.

Demuestra que el polinomio $P(x) = x^4 + 4$ no tiene raíces reales. A continuación, factorízalo como el producto de dos polinomios de segundo grado. Pista: Suma y resta $4x^2$ a la expresión para forzar la aparición de una diferencia de cuadrados.

Simplifica la siguiente expresión algebraica, que representa la impedancia equivalente en un circuito complejo, factorizando al máximo cada polinomio en los numeradores y denominadores:

$\frac{2x^3 - 7x^2 + 7x - 2}{2x^3 - x^2 - 8x + 4} - \frac{x^2 - 1}{x^2 + x - 2}$

En un estudio de economía, la curva de beneficio marginal de una empresa tecnológica se ajusta al polinomio $B(x) = 6x^4 - 11x^3 - 26x^2 + 21x + 10$, donde $x$ representa la inversión en I+D en millones de euros. Factoriza el polinomio para encontrar los puntos de equilibrio exactos (incluyendo raíces fraccionarias).

Un polinomio $P(x)$ de tercer grado cumple que $P(1) = 0$, $P(-2) = 0$ y al dividirlo por el binomio $(x-2)$ el resto de la división es $16$. Además, se sabe que su término independiente es $4$. Halla la expresión factorizada de $P(x)$.

Factoriza completamente el polinomio $P(x) = x^6 - 2x^5 - 3x^4 + 8x^3 - 4x^2$. Identifica claramente cuáles son sus raíces reales y la multiplicidad de cada una de ellas.

El contorno de la bóveda de un edificio vanguardista viene dado por la intersección geométrica de las curvas $f(x) = x^4 - 2x^3$ y $g(x) = 7x^2 - 8x - 12$. Factoriza el polinomio diferencia $D(x) = f(x) - g(x)$ para determinar las coordenadas $x$ de los pilares donde ambas estructuras se unen.