Ejercicios: Binomio de Newton

Calcula el valor de la siguiente expresión utilizando las propiedades de los factoriales y los números combinatorios: $\frac{10!}{8! \cdot 2!} + \binom{7}{3}$.

Desarrolla completamente el binomio $(x + 3)^4$ utilizando la fórmula del binomio de Newton.

Desarrolla la expresión $(2a - b)^5$ e indica cuántos términos tiene el desarrollo final.

Escribe directamente el cuarto término del desarrollo del binomio $(x^2 - 2y)^7$, sin calcular todo el desarrollo.

Utiliza el triángulo de Tartaglia (o de Pascal) para obtener los coeficientes de la sexta fila y desarrolla la expresión $(m + 2n)^6$.

Calcula el coeficiente del término que contiene $x^3$ en el desarrollo del binomio $(x - 4)^5$.

Simplifica al máximo la siguiente expresión algebraica con factoriales: $\frac{(n+2)!}{n! \cdot (n+1)}$.

Halla el valor del número natural $x$ que verifica la siguiente ecuación con números combinatorios: $\binom{x}{2} = 21$.

Desarrolla el binomio con fracciones $\left(x + \frac{1}{2}\right)^3$ y simplifica cada uno de los términos resultantes.

En un estudio de genética de poblaciones, la distribución teórica de ciertos genotipos en una generación viene dada por el desarrollo del binomio $(p + q)^4$, donde $p$ y $q$ son las frecuencias alélicas. Si $p = 0,6$ y $q = 0,4$, calcula el valor numérico del término que contiene la expresión $p^2q^2$ e interpreta su significado matemático dentro del desarrollo.

Encuentra el término independiente de $x$ (es decir, el término que no contiene la variable $x$) en el desarrollo del binomio $\left(x^2 - \frac{1}{x}\right)^9$.

En economía, el capital final acumulado tras $5$ años a un interés compuesto anual $r$ se calcula mediante la fórmula $C = C_0(1 + r)^5$. Utiliza el binomio de Newton para desarrollar $(1 + r)^5$. Si la tasa de interés es $r = 0,03$, calcula una aproximación del capital final para un capital inicial de $1000$ € utilizando únicamente los tres primeros términos del desarrollo.

Halla el coeficiente numérico que acompaña a $x^4$ en el desarrollo del binomio $\left(2x + \frac{1}{x^2}\right)^7$.

Demuestra que la suma de todos los números combinatorios de una misma fila $n$ cumple que $\binom{n}{0} + \binom{n}{1} + \dots + \binom{n}{n} = 2^n$ utilizando el desarrollo del binomio de Newton para $(1+1)^n$. Aplica este resultado para determinar cuántos grupos distintos (de cualquier tamaño, incluyendo el grupo vacío) se pueden formar con los $8$ empleados de una oficina.

Resuelve la siguiente ecuación en la que intervienen números combinatorios, encontrando el valor del número natural $x$: $\binom{x}{3} + \binom{x}{2} = 4 \binom{x}{1}$.

El volumen de un cubo metálico de arista $L$ a cierta temperatura es $V = L^3$. Al calentarse, su arista se dilata linealmente pasando a medir $L(1 + \alpha \Delta T)$. Desarrolla la expresión del nuevo volumen utilizando el binomio de Newton y, sabiendo que el producto $\alpha \Delta T$ es un valor muy pequeño (del orden de $10^{-5}$), justifica matemáticamente por qué el incremento de volumen $\Delta V$ se puede aproximar por la expresión $3 L^3 \alpha \Delta T$.

Determina el término central en el desarrollo del binomio $\left(\sqrt{x} - \frac{2}{x}\right)^6$ y simplifica la expresión resultante.

En un estudio de genética, la combinación de ciertos alelos se modela mediante la expresión matemática $(p + q)^5$. Desarrolla esta expresión sabiendo que las probabilidades vienen dadas por $p = 2x$ y $q = y^2$.

Encuentra el quinto término en el desarrollo del binomio $\left(2x^2 - \frac{1}{x}\right)^7$. Simplifica el resultado combinando las potencias de $x$.

Determina el coeficiente del término que contiene $x^4$ al desarrollar la expresión $(x - \sqrt{2})^6$. Expresa el resultado como un número entero.

La intensidad de luz que atraviesa una serie de $4$ filtros fotográficos con un factor de atenuación variable $x$ se puede aproximar por el binomio $(1 - 0,2x)^4$. Desarrolla esta expresión ordenando los términos de menor a mayor grado.

En el desarrollo del binomio $(x + k)^4$, se sabe que el coeficiente del término en $x^2$ es igual a $54$. Calcula el valor positivo del parámetro $k$.

Calcula la suma de todos los coeficientes del polinomio resultante al desarrollar $(3x - 2y)^5$. Pista: Piensa en qué valores numéricos puedes asignar a las variables $x$ e $y$ para que la expresión evaluada coincida exactamente con la suma de sus coeficientes.

Desarrolla y simplifica al máximo la expresión con radicales $\left(\sqrt{x} + \frac{1}{\sqrt{x}}\right)^4$. Agrupa los términos semejantes y deja el resultado sin exponentes negativos.

Un aparato de Galton (o quincunx) se utiliza para demostrar la distribución binomial. Una bola que cae tiene la misma probabilidad de ir a la derecha ($D$) que a la izquierda ($I$) en cada clavo. Si el aparato tiene $4$ filas de clavos, los caminos posibles se modelan con el desarrollo de $(I + D)^4$.

Observa la figura. Desarrolla el binomio e indica algebraicamente cuántos caminos distintos llevan al compartimento resaltado en rojo (que corresponde a $1$ movimiento a la izquierda y $3$ a la derecha).

Encuentra el valor del parámetro real $k$ para que el coeficiente del término en $x^3$ en el desarrollo del binomio $\left(x^2 + \frac{k}{x}\right)^6$ sea exactamente igual a $-160$.

En el control de calidad de una fábrica de componentes electrónicos, la probabilidad de que un lote de $n$ componentes tenga exactamente $k$ defectuosos viene dada por el término general $\binom{n}{k} p^k (1-p)^{n-k}$, donde $p$ es la probabilidad de que un componente individual sea defectuoso. Si en un lote de $10$ componentes, la probabilidad de encontrar exactamente $4$ defectuosos es el doble que la de encontrar $3$ defectuosos, plantea la ecuación correspondiente y halla el valor exacto de $p$.

Calcula el coeficiente que acompaña a $x^5$ en el desarrollo completo del producto de polinomios $(1 + x)^4 \cdot (1 - 2x)^5$.

Demuestra la propiedad fundamental de los números combinatorios $\binom{n}{k} + \binom{n}{k+1} = \binom{n+1}{k+1}$ utilizando la definición algebraica con factoriales. Posteriormente, utiliza las propiedades de los números combinatorios para resolver el siguiente sistema de ecuaciones para $x$ e $y$ naturales:

$\binom{x}{y} = \binom{x}{y+1}$

$4x - 5y = 19$

Halla el término independiente de $x$ en el desarrollo del binomio $\left(\sqrt[3]{x^2} - \frac{1}{\sqrt{x}}\right)^{14}$ y determina qué posición ocupa dicho término en el desarrollo ordenado según las potencias decrecientes del primer sumando.

En un experimento de óptica, la intensidad de luz en un patrón de interferencia múltiple requiere calcular el desarrollo del binomio $(1 + \cos \theta)^n$. Para un sistema de $6$ rendijas ($n=6$), desarrolla la expresión indicando los coeficientes combinatorios y determina el coeficiente del término que contiene $\cos^4 \theta$. Si en un punto de la pantalla se cumple que $\cos \theta = \frac{1}{2}$, ¿cuál es el valor exacto de la suma de los tres últimos términos de dicho desarrollo?

Resuelve la siguiente ecuación algebraica en la que intervienen números combinatorios y factoriales, determinando el valor del número natural $x$: $\frac{(x+1)!}{(x-1)!} - 2\binom{x}{2} = 14 + \binom{x-1}{1}$.

Determina los valores reales positivos de los parámetros $a$ y $b$ en el binomio $(ax + b)^5$ sabiendo que el segundo término de su desarrollo es $240x^4$ y el tercer término de su desarrollo es $720x^3$.

Halla el término independiente de $x$ en el desarrollo de la expresión $\left(\frac{3x^2}{2} - \frac{1}{3x}\right)^9$. Muestra el planteamiento general del término $k$-ésimo antes de resolverlo.

Desarrolla la suma de los binomios $(\sqrt{3} + \sqrt{2})^4 + (\sqrt{3} - \sqrt{2})^4$. Demuestra que, a pesar de contener números irracionales en su formulación inicial, el resultado final es un número entero.

En ingeniería, la tolerancia de volumen de un contenedor cúbico de lado $L$ con un error de fabricación $\Delta L$ viene dada por la expresión $(L \pm \Delta L)^3$. Desarrolla este binomio. Si $L = 10\ \text{cm}$ y el error máximo es $\Delta L = 0,1\ \text{cm}$, calcula el término de error lineal, el cuadrático y el cúbico. ¿Qué porcentaje del error total representa el término lineal $3L^2\Delta L$?