Com es mesura l'altura d'un edifici sense pujar-hi, o el pendent d'una rampa sense posar-hi una regla? La resposta és en els triangles rectangles: amb un angle i un costat n'hi ha prou per conèixer-ho tot. Aquesta és la primera vegada que veus aquesta eina, així que anem a poc a poc.
Dibuixa diversos triangles rectangles amb el mateix angle agut $\alpha$ però de mides diferents. Tots són semblants (mateixos angles), de manera que els quocients entre els seus costats corresponents són sempre el mateix nombre, per gran o petit que sigui el triangle.
Practica★☆☆Sense començar
Observa el triangle rectangle de la figura. a) Escriu, com a fracció, les raons $\sen\ \alpha$, $\cos\ \alpha$ i $\tg\ \alpha$ de l'angle marcat. b) Escriu aquestes…
Observa el triangle rectangle de la figura.
a) Escriu, com a fracció, les raons $\sen\ \alpha$, $\cos\ \alpha$ i $\tg\ \alpha$ de l'angle marcat. b) Escriu aquestes mateixes raons per a l'altre angle agut. Quina relació observes entre les unes i les altres?
En un triangle rectangle, fixa un angle agut $\alpha$. Cada costat té un nom segons la seva posició respecte de $\alpha$: la hipotenusa, el catet oposat (el que no toca $\alpha$) i el catet adjacent (el que sí que el toca, sense ser la hipotenusa).
Practica★☆☆Sense començar
En el triangle rectangle de la figura els catets mesuren $6$ cm i $8$ cm. a) Calcula la hipotenusa. b) Troba les tres raons trigonomètriques de l'angle $\beta$ marcat.
En el triangle rectangle de la figura els catets mesuren $6$ cm i $8$ cm.
a) Calcula la hipotenusa. b) Troba les tres raons trigonomètriques de l'angle $\beta$ marcat.
En el triangle de la figura la hipotenusa mesura $10$ cm i l'angle $\alpha$ mesura $30^\circ$. Calcula la longitud del catet oposat a $\alpha$. (Dada:…
En el triangle de la figura la hipotenusa mesura $10$ cm i l'angle $\alpha$ mesura $30^\circ$.
Calcula la longitud del catet oposat a $\alpha$. (Dada: $\sen\ 30^\circ = 0{,}5$.)
Els dos catets d'un triangle rectangle mesuren $4$ cm cadascun. a) Quant val la tangent de cadascun dels angles aguts? b) Quant mesuren aquests angles? Justifica-ho…
Els dos catets d'un triangle rectangle mesuren $4$ cm cadascun. a) Quant val la tangent de cadascun dels angles aguts? b) Quant mesuren aquests angles? Justifica-ho sense calculadora.
Com que el sinus i el cosinus vénen del mateix triangle rectangle, no són independents: estan lligats per Pitàgores.
Aquestes relacions permeten calcular les tres raons coneixent-ne només una, sense mesurar cap costat.
Practica★☆☆Sense començar
Valora si són certes o falses aquestes afirmacions sobre un angle agut $\alpha$: a) «El sinus de $\alpha$ pot ser més gran que $1$». b) «La tangent de $\alpha$ pot ser…
Valora si són certes o falses aquestes afirmacions sobre un angle agut $\alpha$: a) «El sinus de $\alpha$ pot ser més gran que $1$». b) «La tangent de $\alpha$ pot ser més gran que $1$». Justifica totes dues respostes a partir de la definició de les raons en el triangle rectangle i posa un exemple en el cas afirmatiu.
Hi ha tres angles les raons dels quals es poden calcular exactament, sense calculadora, a partir de figures molt senzilles.
Practica★☆☆Sense començar
Els angles aguts d'un triangle rectangle mesuren $35^\circ$ i $55^\circ$. Sabent que $\sen\ 35^\circ \approx 0{,}574$, esbrina sense calculadora quant val…
Els angles aguts d'un triangle rectangle mesuren $35^\circ$ i $55^\circ$. Sabent que $\sen\ 35^\circ \approx 0{,}574$, esbrina sense calculadora quant val $\cos\ 55^\circ$ i justifica-ho fent servir la definició de les raons trigonomètriques.
a) Observa el panell A de la figura, on un triangle equilàter de costat $2$ s'ha dividit per una alçada, i dedueix els valors exactes de $\sen 30^\circ$, $\cos 30^\circ$…
a) Observa el panell A de la figura, on un triangle equilàter de costat $2$ s'ha dividit per una alçada, i dedueix els valors exactes de $\sen 30^\circ$, $\cos 30^\circ$ i $\tg 30^\circ$.
b) Observa el panell B, on un quadrat de costat $1$ s'ha dividit per una diagonal, i dedueix les raons trigonomètriques de $45^\circ$ ($\sen 45^\circ$, $\cos 45^\circ$ i $\tg 45^\circ$).
c) Amb l'anterior i les relacions entre angles complementaris, completa la taula següent amb les raons de $30^\circ$, $45^\circ$ i $60^\circ$:
Calcula sense calculadora, fent servir la taula d'angles notables: a) $\sen^2\ 30^\circ + \cos^2\ 60^\circ + \tg\ 45^\circ$. b)…
Calcula sense calculadora, fent servir la taula d'angles notables: a) $\sen^2\ 30^\circ + \cos^2\ 60^\circ + \tg\ 45^\circ$. b) $\frac{\sen\ 60^\circ}{\cos\ 30^\circ} + \tg^2\ 30^\circ$.
Torna al principi: Per mesurar l'altura de l'edifici n'hi ha prou de situar-te a una distància coneguda de la seva base (catet adjacent) i mesurar l'angle d'elevació $\alpha$ fins al capdamunt: l'altura és aquesta distància multiplicada per $\tan\ \alpha$.
Resum
A practicar! 10 exercicis de nivell mitjà en aquest apartat