Esdeveniments dependents
Treus dues cartes de la baralla sense tornar la primera. Un metge interpreta el resultat d'una prova diagnòstica. En tots dos casos, allò que ja ha passat canvia les probabilitats d'allò que pot passar després: són successos dependents, i cal una eina nova per tractar-los: la probabilitat condicionada.
Probabilitat condicionada
En una classe de $30$ estudiants, $18$ són noies. Es sap que $12$ noies i $5$ nois estudien francès. Si es tria a l'atzar un estudiant d'aquesta classe i resulta ser una…
En una classe de $30$ estudiants, $18$ són noies. Es sap que $12$ noies i $5$ nois estudien francès. Si es tria a l'atzar un estudiant d'aquesta classe i resulta ser una noia, calcula la probabilitat que estudiï francès.
En una enquesta realitzada a $200$ persones sobre la seva preferència entre te i cafè, es van obtenir les dades següents: $120$ prefereixen cafè, de les quals $70$ són…
En una enquesta realitzada a $200$ persones sobre la seva preferència entre te i cafè, es van obtenir les dades següents: $120$ prefereixen cafè, de les quals $70$ són dones. Si en total hi ha $110$ dones a l'enquesta, calcula la probabilitat que una persona triada a l'atzar prefereixi te, sabent que és un home.
Regla del producte per a successos dependents
Quan s'extreu sense reemplaçament (no es torna allò extret), la composició canvia per a la propera extracció: les extraccions són dependents.
En una caixa hi ha $8$ bombetes LED, de les quals $3$ estan foses. Si s'extreuen dues bombetes a l'atzar, l'una rere l'altra i sense reemplaçament, calcula la…
En una caixa hi ha $8$ bombetes LED, de les quals $3$ estan foses. Si s'extreuen dues bombetes a l'atzar, l'una rere l'altra i sense reemplaçament, calcula la probabilitat que totes dues funcionin correctament.
En un calaix hi ha $5$ mitjons negres i $3$ mitjons blaus, tots barrejats. Si treus dos mitjons a les fosques, l'un rere l'altre, calcula la probabilitat que tots dos…
En un calaix hi ha $5$ mitjons negres i $3$ mitjons blaus, tots barrejats. Si treus dos mitjons a les fosques, l'un rere l'altre, calcula la probabilitat que tots dos siguin blaus.
Diagrames d'arbre amb successos dependents
El diagrama d'arbre és la forma més clara d'organitzar diverses etapes dependents: cada branca du escrita la probabilitat condicionada a allò ja ocorregut, i cada camí complet es calcula multiplicant les seves branques.
El diagrama d'arbre següent mostra les probabilitats que un jugador de bàsquet encistelli ($E$) o falli ($F$) el seu primer i segon tir lliure. Observa les probabilitats…
El diagrama d'arbre següent mostra les probabilitats que un jugador de bàsquet encistelli ($E$) o falli ($F$) el seu primer i segon tir lliure. Observa les probabilitats condicionades i calcula la probabilitat que el jugador falli el primer tir i encistelli el segon.
En un joc de taula, un cofret conté $6$ monedes d'or i $4$ monedes de plata. Un jugador extreu dues monedes sense mirar, l'una rere l'altra i sense reemplaçament.…
En un joc de taula, un cofret conté $6$ monedes d'or i $4$ monedes de plata. Un jugador extreu dues monedes sense mirar, l'una rere l'altra i sense reemplaçament. Basant-te en l'esquema del diagrama d'arbre, calcula la probabilitat que les dues monedes extretes siguin de diferent material.
Probabilitat total
Quan un resultat pot arribar per diversos camins diferents que cobreixen totes les possibilitats (per exemple, passar abans per una urna o una altra, o per un grup de població o un altre), se suma la probabilitat de cada camí.
En un hospital, el $40\%$ dels pacients estan ingressats per malalties respiratòries. D'aquests, el $15\%$ són fumadors. Entre els pacients ingressats per altres causes,…
En un hospital, el $40\%$ dels pacients estan ingressats per malalties respiratòries. D'aquests, el $15\%$ són fumadors. Entre els pacients ingressats per altres causes, el $20\%$ són fumadors. Si es tria un pacient a l'atzar i resulta ser fumador, quina és la probabilitat que estigui ingressat per una malaltia respiratòria?
Disposem de dues urnes i un dau equilibrat de sis cares. Llancem el dau: si surt un nombre menor que $3$, extreiem una bola de l'urna $A$; en cas contrari, extreiem una…
Disposem de dues urnes i un dau equilibrat de sis cares. Llancem el dau: si surt un nombre menor que $3$, extreiem una bola de l'urna $A$; en cas contrari, extreiem una bola de l'urna $B$. Observa la composició de les urnes a la imatge i calcula la probabilitat que la bola extreta sigui vermella.
Revisar la causa a partir de l'efecte
Una pregunta freqüent en medicina és la inversa: si el resultat d'una prova ha estat positiu, quina és la probabilitat real d'estar malalt? Cal «girar» la condicionada amb la mateixa fórmula de probabilitat condicionada, recolzant-se en la probabilitat total per al denominador.
Una prova de detecció per a una malaltia té una fiabilitat del $95\%$ per detectar els malalts i del $90\%$ per donar negatiu en persones sanes. Es sap que el $2\%$ de…
Una prova de detecció per a una malaltia té una fiabilitat del $95\%$ per detectar els malalts i del $90\%$ per donar negatiu en persones sanes. Es sap que el $2\%$ de la població pateix aquesta malaltia. Si una persona es sotmet a la prova i el resultat és positiu, calcula la probabilitat que realment estigui malalta.
En una empresa tecnològica, el $60\%$ dels empleats són programadors, el $30\%$ són dissenyadors i el $10\%$ són gerents. El $80\%$ dels programadors, el $40\%$ dels…
En una empresa tecnològica, el $60\%$ dels empleats són programadors, el $30\%$ són dissenyadors i el $10\%$ són gerents. El $80\%$ dels programadors, el $40\%$ dels dissenyadors i el $90\%$ dels gerents parlen anglès fluidament. Es selecciona un empleat a l'atzar i es descobreix que no parla anglès fluidament. Calcula la probabilitat que aquest empleat sigui dissenyador.
Torna al principi: en treure dues cartes sense reemplaçament d'una baralla de $40$, la probabilitat de treure dos reis és $\dfrac{4}{40} \cdot \dfrac{3}{39} = \dfrac{1}{130}$: la primera extracció modifica les cartes restants i condiciona la segona.