Polinomis
L'altura d'un dron en funció del temps es pot escriure com $h(t) = -2t^2 + 12t + c$: amb una sola expressió saps la seva altura en qualsevol instant. Això és un polinomi. Ja hi vas treballar a 2n i 3r d'ESO; aquí repasses les seves peces amb exemples una mica més generals.
Grau, coeficient principal i terme independent
$$P(x) = -5x^4 + \frac{2}{3}x^2 - x + 9$$-
Grau del polinomi: el grau més gran dels seus termes (aquí, $4$).
-
Coeficient principal: el del terme de grau més gran ($-5$).
-
Terme independent: el que no porta $x$ ($9$).
Ordenar i completar un polinomi
Un polinomi està complet si té tots els graus des del més gran fins al terme independent. Si en falta algun, és incomplet.
$x^3 - 4$ és incomplet: li falten els termes de grau $2$ i de grau $1$. Per dividir o restar en columnes convé deixar un buit (o escriure un $0$) allà on falti un grau.
Valor numèric d'un polinomi
El valor numèric de $P$ en un punt s'obté substituint cada lletra pel seu valor (entre parèntesis si és negatiu) i operant, respectant la jerarquia d'operacions.
Calcula el valor numèric del polinomi $P(x, y) = 3x^2y - 5xy^2 + 2x - 3y + 1$ per a $x = -2$ i $y = 3$.
Calcula el valor numèric del polinomi $P(x, y) = 3x^2y - 5xy^2 + 2x - 3y + 1$ per a $x = -2$ i $y = 3$.
Arrels: una primera idea
Comprova, utilitzant el teorema del factor, si $x = -3$ és una arrel del polinomi $P(x) = x^3 + 4x^2 + x - 6$.
Comprova, utilitzant el teorema del factor, si $x = -3$ és una arrel del polinomi $P(x) = x^3 + 4x^2 + x - 6$.
Polinomis en problemes reals
Preus, àrees o trajectòries es descriuen sovint amb un polinomi; la pregunta es respon calculant-ne el valor numèric (o aïllant-ne una dada) en la situació que interessa.
L'altura $h$ (en metres) d'un dron en funció del temps $t$ (en segons) ve donada pel polinomi $h(t) = -2t^2 + 12t + c$. Si als $3$ segons el dron es troba a $25$ metres…
L'altura $h$ (en metres) d'un dron en funció del temps $t$ (en segons) ve donada pel polinomi $h(t) = -2t^2 + 12t + c$. Si als $3$ segons el dron es troba a $25$ metres d'altura, calcula el valor de $c$ i determina l'altura inicial des de la qual va enlairar-se.
Una empresa de tecnologia estima que els seus ingressos mensuals (en milers d'euros) venen donats pel polinomi $I(x) = -2x^2 + 50x$, i els seus costs de producció per…
Una empresa de tecnologia estima que els seus ingressos mensuals (en milers d'euros) venen donats pel polinomi $I(x) = -2x^2 + 50x$, i els seus costs de producció per $C(x) = 10x + 150$, on $x$ és la quantitat de dispositius fabricats (en centenars). Obtén el polinomi que representa el benefici mensual $B(x)$ i calcula el benefici exacte si es fabriquen $1000$ dispositius.
Torna al principi: Si el dron s'enlaira des del terra, la seva altura inicial és $h(0) = c = 0\text{ m}$; si s'enlaira des d'una taula a $1{,}2\text{ m}$, el terme independent és $c = 1{,}2\text{ m}$ i determina l'altura d'enlairament.