De quantes maneres poden arribar a la meta 8 corredors? Quantes contrasenyes diferents pots formar amb 7 dígits sense repetir-ne cap? Són preguntes de combinatòria: comptar sense haver de fer la llista sencera. Aprendràs a comptar ordenacions, que és la primera i més bàsica de les tècniques.
Imagina que has d'asseure 3 amics (Ana, Berta i Carla) en 3 cadires en fila. Per a la primera cadira tens 3 opcions. Triada aquesta, per a la segona només queden 2 persones. Per a la tercera, només en queda 1.
Cada branca de l'arbre és una manera diferent d'asseure'ls. L'arbre té $3 \cdot 2 \cdot 1 = 6$ camins des de l'arrel fins a una fulla: 6 ordenacions possibles.
Fixa't que en triar una persona per a una cadira, aquesta persona ja no està disponible per a les següents: el nombre d'opcions baixa d'una en una. Això és just el que distingeix una permutació.
Practica★☆☆Sense començar
Un locutor de ràdio local ha de programar exactament $5$ cançons diferents durant la pròxima hora d'emissió. De quantes formes pot establir l'ordre en què sonaran les…
Un locutor de ràdio local ha de programar exactament $5$ cançons diferents durant la pròxima hora d'emissió. De quantes formes pot establir l'ordre en què sonaran les cançons?
Seguint el mateix raonament de l'arbre, però amb $n$ elements: per al primer lloc hi ha $n$ opcions, per al segon $n-1$, per al tercer $n-2$, i així fins que només queda $1$ opció per a l'últim lloc.
Aquest producte s'anomena factorial de $n$ i s'escriu $n!$. Així doncs, $P_n = n!$. Ho estudiaràs amb detall en l'apartat següent; aquí només cal que sàpigues que es calcula multiplicant tots els nombres naturals des de $n$ fins a $1$.
Practica★☆☆Sense començar
En una competició d'atletisme participen $8$ corredors a la final dels $100$ metres llisos. Si s'assumeix que no hi pot haver empats, de quantes formes diferents poden…
En una competició d'atletisme participen $8$ corredors a la final dels $100$ metres llisos. Si s'assumeix que no hi pot haver empats, de quantes formes diferents poden arribar a la meta i classificar-se?
En una galeria d'art contemporani s'exposaran en línia $6$ quadres d'un mateix pintor al llarg d'una paret. De quantes formes diferents es poden ordenar visualment les…
En una galeria d'art contemporani s'exposaran en línia $6$ quadres d'un mateix pintor al llarg d'una paret. De quantes formes diferents es poden ordenar visualment les obres?
De vegades convé fixar una posició abans de comptar-ne les altres. Si una contrasenya de 7 dígits diferents (de l'1 al 7) ha de començar sempre pel 7, aquest primer dígit ja no compta com una opció lliure: només queden els altres 6 dígits per ordenar en les 6 posicions restants, és a dir, $P_6 = 6! = 720$ contrasenyes.
Practica★★☆Sense començar
Quatre amics i tres amigues van al cinema i compren entrades per a set butaques consecutives a la mateixa fila. De quantes formes poden seure si els quatre nois volen…
Quatre amics i tres amigues van al cinema i compren entrades per a set butaques consecutives a la mateixa fila. De quantes formes poden seure si els quatre nois volen estar junts i les tres noies també volen estar juntes?
Quantes paraules diferents es poden formar reordenant les lletres de $SOL$? Les tres lletres són diferents, de manera que és $P_3 = 3! = 6$: SOL, SLO, OSL, OLS, LSO, LOS.
Però, i amb les lletres d'$ANA$? Aquí hi ha una lletra, la $A$, que apareix dues vegades. Si tractessis les dues «A» com si fossin distingibles ($A_1$ i $A_2$), tindries $3! = 6$ ordenacions, però la meitat són indistingibles entre elles en llegir-les: $A_1NA_2$ i $A_2NA_1$ són, en realitat, la mateixa paraula ANA.
Practica★☆☆Sense començar
Calcula quantes paraules diferents, tinguin o no sentit en català, es poden formar ordenant totes les lletres de la paraula $BIOLOGIA$.
Calcula quantes paraules diferents, tinguin o no sentit en català, es poden formar ordenant totes les lletres de la paraula $BIOLOGIA$.
Al màstil d'un vaixell de vela es volen issar $7$ banderes per transmetre un senyal a la costa. Es disposa de $3$ banderes vermelles, $2$ blaves i $2$ grogues, totes de…
Al màstil d'un vaixell de vela es volen issar $7$ banderes per transmetre un senyal a la costa. Es disposa de $3$ banderes vermelles, $2$ blaves i $2$ grogues, totes de la mateixa mida. Quants senyals diferents es poden enviar combinant totes les banderes?
En una fila, el primer i l'últim lloc són diferents. En una taula rodona no hi ha «primer seient»: l'únic que importa és l'ordre relatiu d'uns respecte als altres. Per això girar tot el grup un seient no compta com una col·locació nova.
Practica★☆☆Sense començar
Un grup de $5$ amics va a una pizzeria a sopar i decideixen seure al voltant d'una taula circular. De quantes maneres diferents poden acomodar-se als seients?
Un grup de $5$ amics va a una pizzeria a sopar i decideixen seure al voltant d'una taula circular. De quantes maneres diferents poden acomodar-se als seients?