Distància entre dos punts
Una formiga que camina en línia recta d'un punt a un altre recorre exactament el mòdul del vector que els uneix. Per això la distància entre dos punts no és una fórmula nova: és la mateixa fórmula del mòdul que ja coneixes, aplicada al vector $\vec{AB}$.
La fórmula de la distància
En un control, es demana la distància entre els punts $A(-2, 1)$ i $B(1, 5)$. La resposta d'un estudiant és…
En un control, es demana la distància entre els punts $A(-2, 1)$ i $B(1, 5)$. La resposta d'un estudiant és $d(A, B) = \sqrt{(1 - (-2))^2 - (5 - 1)^2} = \sqrt{9 - 16} = \sqrt{-7}$, i conclou que la distància no existeix. Localitza l'error de signe en la fórmula utilitzada i calcula la distància correcta.
Calcula la distància exacta entre els punts $A(3, -2)$ i $B(-1, 1)$ en el pla cartesià.
Calcula la distància exacta entre els punts $A(3, -2)$ i $B(-1, 1)$ en el pla cartesià.
Perímetres i triangles
Sumant les distàncies entre vèrtexs consecutius calcules el perímetre de qualsevol polígon. I comparant les tres longituds d'un triangle (amb el recíproc de Pitàgores) pots saber si és rectangle, o si és isòsceles o equilàter.
Calcula el perímetre del triangle els vèrtexs del qual es situen en les coordenades $A(0, 0)$, $B(6, 0)$ i $C(3, 4)$.
Calcula el perímetre del triangle els vèrtexs del qual es situen en les coordenades $A(0, 0)$, $B(6, 0)$ i $C(3, 4)$.
Demostra, calculant la longitud dels seus tres costats i aplicant el recíproc del teorema de Pitàgores, si el triangle de vèrtexs $A(-1, 2)$, $B(2, -2)$ i $C(6, 1)$ és…
Demostra, calculant la longitud dels seus tres costats i aplicant el recíproc del teorema de Pitàgores, si el triangle de vèrtexs $A(-1, 2)$, $B(2, -2)$ i $C(6, 1)$ és un triangle rectangle.
Punts que equidisten
Un punt equidista de dos altres quan és a la mateixa distància d'ambdós. Molts problemes (antenes que cobreixen diversos pobles per igual, sensors que s'han de col·locar igual de lluny de dues màquines) es resolen igualant dues distàncies i aïllant la incògnita.
Comprova matemàticament si el punt $P(2, 3)$ equidista dels punts $M(5, -1)$ i $N(-1, -1)$.
Comprova matemàticament si el punt $P(2, 3)$ equidista dels punts $M(5, -1)$ i $N(-1, -1)$.
Troba les coordenades del punt situat sobre l'eix d'abscisses que equidista dels punts $A(1, 4)$ i $B(5, -2)$.
Troba les coordenades del punt situat sobre l'eix d'abscisses que equidista dels punts $A(1, 4)$ i $B(5, -2)$.
Distància d'un punt a una recta (un avenç)
Alguns problemes demanen la distància més curta d'un punt a una recta sencera, no a un altre punt concret. Aquesta distància mínima és sempre la de la perpendicular a la recta que passa pel punt. Quan coneguis l'equació general $Ax + By + C = 0$ d'una recta (el pròxim apartat), podràs calcular-la directament:
$$d(P, r) = \frac{|A p_1 + B p_2 + C|}{\sqrt{A^2+B^2}}$$Un cometa es troba en la posició $C(10, 15)$ i una sonda espacial descriu una trajectòria lineal donada per $2x - y - 1 = 0$. Un científic novell tria un punt aleatori…
Un cometa es troba en la posició $C(10, 15)$ i una sonda espacial descriu una trajectòria lineal donada per $2x - y - 1 = 0$. Un científic novell tria un punt aleatori de la trajectòria, per exemple $P(1, 1)$, i calcula la distància del cometa a la trajectòria com a $d(C, P) = \sqrt{(10-1)^2 + (15-1)^2} = \sqrt{81 + 196} = \sqrt{277}$. Explica per què aquest mètode no garanteix trobar la distància real a la recta. Aplica la fórmula analítica correcta i troba el valor exacte d'aquesta distància.