Nombres irracionals

Classifica els nombres següents en racionals o irracionals, justificant la teva resposta en funció de la seva expressió decimal:

• $A = 3,14159265\dots$ (sense cap patró de repetició)

• $B = -2,33333\dots$

• $C = \sqrt{16}$

• $D = \sqrt{15}$

• $E = 2,121121112\dots$

Indica si les afirmacions següents són vertaderes o falses. Si són falses, escriu un contraexemple que ho demostri.

1. a) La suma de dos nombres irracionals sempre dona com a resultat un nombre irracional.
2. b) Tots els nombres amb infinites xifres decimals són irracionals.
3. c) El nombre $\pi$ es pot escriure exactament com una fracció de dos nombres enters.
4. d) El conjunt dels nombres reals $\mathbb{R}$ està format per la unió dels racionals $\mathbb{Q}$ i els irracionals $\mathbb{I}$.

Sense utilitzar la calculadora, esbrina si el nombre $\sqrt{250}$ és racional o irracional. Justifica el teu raonament acotant-lo entre els quadrats perfectes més propers.

Classifica el resultat exacte de les operacions següents com a nombre racional o irracional, fent primer el càlcul:

1. a) $\sqrt{2} \cdot \sqrt{8}$
2. b) $\sqrt{3} + \sqrt{3}$
3. c) $\frac{\sqrt{12}}{\sqrt{3}}$
4. d) $\sqrt{5} \cdot \sqrt{2}$

Associa cadascun dels nombres irracionals famosos següents amb el seu símbol matemàtic i el seu valor aproximat a les mil·lèsimes:

• Nombres: Nombre d'or, Pi, Nombre d'Euler.

• Símbols: $\pi$, $e$, $\phi$.

• Valors: $2,718\dots$, $1,618\dots$, $3,141\dots$.

Representa de manera exacta a la recta real el nombre $\sqrt{10}$.

1. a) Utilitza el teorema de Pitàgores per trobar dos nombres naturals que serveixin com a catets d'un triangle rectangle la hipotenusa del qual mesuri $\sqrt{10}$.
2. b) Descriu els passos de la construcció geomètrica amb regle i compàs per situar $\sqrt{10}$ sobre la recta real.

Escriu un nombre irracional expressat en forma d'arrel quadrada que estigui comprès entre les fraccions $\frac{1}{2}$ i $\frac{3}{4}$.

Determina a quins conjunts numèrics ($\mathbb{N}$, $\mathbb{Z}$, $\mathbb{Q}$, $\mathbb{I}$, $\mathbb{R}$) pertany el nombre $-\sqrt{81}$. Escriu tots els conjunts de què forma part.

El període $T$ d'un pèndol simple (el temps que triga a fer una oscil·lació completa d'anada i tornada) ve donat per la fórmula física $T = 2\pi \sqrt{\frac{L}{g}}$, on $L$ és la longitud de la corda i $g$ l'acceleració de la gravetat. Calcula el període exacte d'un pèndol de $10$ metres de longitud suposant $g = 10 \text{ m/s}^2$. El temps obtingut és un nombre racional o irracional?

Demostra per reducció a l'absurd que $\sqrt{2}$ és un nombre irracional. Per fer-ho, assumeix que es pot escriure com una fracció irreductible $\frac{a}{b}$ (on $a$ i $b$ no tenen divisors comuns) i arriba a una contradicció analitzant la paritat (si són parells o senars) de $a$ i de $b$.