Volum de figures sòlides i escala
Una maqueta d'un edifici, dos gots amb la mateixa forma però de mida diferent, una escultura de gel que es fon mantenint la seva forma: tot això són sòlids semblants, i el volum és la magnitud que canvia més de pressa amb l'escala.
Volum i raó $k$ al cub
Dos cubs de Rubik tenen mides diferents però són geomètricament semblants. L'arista del cub petit mesura $2 \text{ cm}$ i l'arista del cub gran mesura $6 \text{ cm}$. Si…
Dos cubs de Rubik tenen mides diferents però són geomètricament semblants. L'arista del cub petit mesura $2 \text{ cm}$ i l'arista del cub gran mesura $6 \text{ cm}$. Si el volum del cub petit és de $8 \text{ cm}^3$, calcula el volum del cub gran aplicant la raó de semblança.
Un tetraedre de plàstic té un volum de $15 \text{ cm}^3$. En una fàbrica de joguines decideixen construir un tetraedre semblant però triplicant la longitud de totes les…
Un tetraedre de plàstic té un volum de $15 \text{ cm}^3$. En una fàbrica de joguines decideixen construir un tetraedre semblant però triplicant la longitud de totes les seves arestes. Calcula el volum del nou tetraedre.
Maquetes i plànols a escala en 3D
En una maqueta a escala $1:n$, el volum real no és $n$ vegades el de la maqueta, sinó $n^3$ vegades: una maqueta petita representa un edifici enorme en volum.
Un arquitecte dissenya la maqueta d'un rascacel a una escala de $1:100$. Si el volum de la maqueta a l'estudi és de $5000 \text{ cm}^3$, determina el volum real que…
Un arquitecte dissenya la maqueta d'un rascacel a una escala de $1:100$. Si el volum de la maqueta a l'estudi és de $5000 \text{ cm}^3$, determina el volum real que tindrà el rascacel expressat en metres cúbics ($m^3$).
En una pizzeria ofereixen refrescs en dos gots cilíndrics semblants. El got gran és exactament el doble d'alt i el doble d'amplada que el got petit. Si la capacitat del…
En una pizzeria ofereixen refrescs en dos gots cilíndrics semblants. El got gran és exactament el doble d'alt i el doble d'amplada que el got petit. Si la capacitat del got petit és de $250 \text{ mL}$, quants mil·lilitres de refresc caben en el got gran?
Massa i densitat en sòlids semblants
Si dos objectes són del mateix material (mateixa densitat), la seva massa és proporcional al seu volum: també canvia amb $k^3$. Això explica per què una estàtua el doble d'alta pesa vuit vegades més, no el doble.
Una miniatura de bronze massís d'un monument famós pesa $1,5 \text{ kg}$ i té una altura de $20 \text{ cm}$. El monument real, construït exactament amb el mateix tipus…
Una miniatura de bronze massís d'un monument famós pesa $1,5 \text{ kg}$ i té una altura de $20 \text{ cm}$. El monument real, construït exactament amb el mateix tipus de bronze i sent matemàticament semblant, té una altura de $4 \text{ m}$. Calcula el pes del monument real expressat en tones.
Una escultura de gel amb forma de poliedre complex es desfà uniformement sota el sol de manera que en tot moment manté una forma semblant a l'original. Si al cap de 2…
Una escultura de gel amb forma de poliedre complex es desfà uniformement sota el sol de manera que en tot moment manté una forma semblant a l'original. Si al cap de 2 hores s'observa que l'àrea de la seva superfície ha disminuït en un $36\%$, quin percentatge del seu volum original s'ha desfet fins a aquest moment?
Àrea i volum alhora
Molts problemes donen la raó entre àrees (o entre superfícies totals) i pregunten pel volum, o al revés. Cal passar primer per $k$: d'àrea a $k$ amb arrel quadrada, i de $k$ a volum elevant al cub.
La raó entre les àrees totals de dos cons semblants és de $\frac{16}{25}$. Determina quina és la raó entre els volums d'aquests cons.
La raó entre les àrees totals de dos cons semblants és de $\frac{16}{25}$. Determina quina és la raó entre els volums d'aquests cons.
En un museu hi ha dues estàtues de marbre semblants. El volum de la primera estàtua és $27$ vegades el volum de la segona. Si l'altura de la segona estàtua és de…
En un museu hi ha dues estàtues de marbre semblants. El volum de la primera estàtua és $27$ vegades el volum de la segona. Si l'altura de la segona estàtua és de $10 \text{ cm}$, esbrina l'altura de la primera estàtua.
Un embut cònic d'altura $H$ està completament ple d'oli. Es deixa gotejar tot l'oli en un recipient cònic semblant a l'embut però d'altura $2H$, que inicialment està…
Un embut cònic d'altura $H$ està completament ple d'oli. Es deixa gotejar tot l'oli en un recipient cònic semblant a l'embut però d'altura $2H$, que inicialment està buit. Una vegada que l'embut s'ha buidat per complet, quina fracció de l'altura del recipient gran estarà coberta per l'oli?
Talls paral·lels a la base: cons i piràmides "deficients"
Si talles un con o una piràmide amb un pla paral·lel a la base, la figura petita de dalt és semblant a l'original completa. Comparant alçades (o radis) obtens la raó $k$ per calcular-ne el volum, i el tronc resultant és la diferència.
Una copa de còctel té forma de con invertit perfecte. S'aboca suc a la copa fins a assolir exactament la meitat de l'altura total de la copa. Quina fracció de la…
Una copa de còctel té forma de con invertit perfecte. S'aboca suc a la copa fins a assolir exactament la meitat de l'altura total de la copa. Quina fracció de la capacitat total de la copa està ocupada pel suc?
La figura il·lustra la copa i el nivell de suc:
Una piràmide de base quadrada té una altura de $12 \text{ cm}$ i l'aresta de la seva base mesura $6 \text{ cm}$. Es talla aquesta piràmide per un pla paral·lel a la base…
Una piràmide de base quadrada té una altura de $12 \text{ cm}$ i l'aresta de la seva base mesura $6 \text{ cm}$. Es talla aquesta piràmide per un pla paral·lel a la base per formar un tronc de piràmide que té una base superior amb una aresta de $2 \text{ cm}$. Utilitzant la semblança entre la piràmide original i la piràmide petita deficient, calcula el volum del tronc de piràmide resultant.