Fins ara has anat coneixent els naturals, els enters, els racionals i els irracionals per separat. Ara ajuntes totes les peces: el conjunt dels nombres reals $\mathbb{R}$, que és la recta sencera, sense forats, i les eines per descriure trossos d'aquesta recta (intervals) i distàncies sobre ella (valor absolut).
Classifica els nombres següents indicant a quins dels conjunts numèrics ($\mathbb{N}, \mathbb{Z}, \mathbb{Q}, \mathbb{I}, \mathbb{R}$) pertanyen. Tingues en compte que…
Classifica els nombres següents indicant a quins dels conjunts numèrics ($\mathbb{N}, \mathbb{Z}, \mathbb{Q}, \mathbb{I}, \mathbb{R}$) pertanyen. Tingues en compte que un nombre pot pertànyer a més d'un conjunt.
$A = -8$
$B = 3,14159...$ (amb infinitíssimes xifres no periòdiques)
Indica si les afirmacions següents són meves o falses, justificant breument la teva resposta: La unió del conjunt dels nombres racionals i els irracionals forma el…
Indica si les afirmacions següents són meves o falses, justificant breument la teva resposta:
La unió del conjunt dels nombres racionals i els irracionals forma el conjunt dels nombres reals ($\mathbb{Q} \cup \mathbb{I} = \mathbb{R}$).
Tot nombre decimal es pot expressar com una fracció.
El conjunt dels nombres enters està inclòs en el conjunt dels nombres naturals ($\mathbb{Z} \subset \mathbb{N}$).
Un interval és un «tros» de la recta real. El claudàtor indica que l'extrem sí s'inclou; el parèntesi, que no.
Practica★☆☆Sense començar
Expressa els conjunts de nombres reals següents mitjançant desigualtats i representa'ls mentalment a la recta real: L'interval $[-4, 7)$ La semirrecta $(-\infty, 3]$…
Expressa els conjunts de nombres reals següents mitjançant desigualtats i representa'ls mentalment a la recta real:
Dats els intervals i semirrectes de nombres reals següents: $A = [-5, 4)$ $B = (1, 8]$ $C = (-\infty, 2]$ Calcula i expressa com un sol interval o semirrecta el resultat…
Dats els intervals i semirrectes de nombres reals següents:
$A = [-5, 4)$
$B = (1, 8]$
$C = (-\infty, 2]$
Calcula i expressa com un sol interval o semirrecta el resultat de les operacions següents:
El valor absolut $|a - b|$ mesura la distància entre dos punts de la recta, sigui quin sigui el seu ordre.
Practica★☆☆Sense començar
Calcula la distància a la recta real entre els parells de punts següents utilitzant el valor absolut: $A(-9)$ i $B(3)$ $C(4,5)$ i $D(-2,1)$ $E\left(\frac{1}{2}\right)$ i…
Calcula la distància a la recta real entre els parells de punts següents utilitzant el valor absolut:
$A(-9)$ i $B(3)$
$C(4,5)$ i $D(-2,1)$
$E\left(\frac{1}{2}\right)$ i $F\left(\frac{7}{2}\right)$
En un laboratori de biologia, un enzim només es manté actiu si la temperatura $T$ (en graus Celsius) de la incubadora compleix la condició estricta d'estar a una…
En un laboratori de biologia, un enzim només es manté actiu si la temperatura $T$ (en graus Celsius) de la incubadora compleix la condició estricta d'estar a una distància de $37,5^\circ\text{C}$ inferior a $1,2^\circ\text{C}$.
Expressa aquesta condició mitjançant una desigualtat amb valor absolut.
Expressa el rang de temperatures acceptables com un entorn $E(a, r)$.
Expressa mitjançant la unió de dos intervals el conjunt de nombres reals la distància dels quals a l'origen de coordenades és estrictament major que $5$.
Expressa mitjançant la unió de dos intervals el conjunt de nombres reals la distància dels quals a l'origen de coordenades és estrictament major que $5$.
Representar irracionals amb el teorema de Pitàgores
Un irracional com $\sqrt{8}$ no es pot marcar «a ull», però sí de manera exacta amb un triangle rectangle: si els catets mesuren $a$ i $b$, la hipotenusa mesura $\sqrt{a^2+b^2}$.
Practica★☆☆Sense començar
Indica la longitud que han de tenir els catets d'un triangle rectangle per poder representar exactament a la recta real els nombres irracionals següents, fent ús del…
Indica la longitud que han de tenir els catets d'un triangle rectangle per poder representar exactament a la recta real els nombres irracionals següents, fent ús del teorema de Pitàgores:
Representa geomètricament i de manera exacta el nombre irracional $\sqrt{8}$ sobre la recta real recolzant-te en la graduació donada. Per a fer-ho: a) Descompon el…
Representa geomètricament i de manera exacta el nombre irracional $\sqrt{8}$ sobre la recta real recolzant-te en la graduació donada. Per a fer-ho:
a) Descompon el radicand en una suma de dos quadrats perfectes i indica les mesures dels catets del triangle rectangle que necessites construir.
b) Detalla els passos de la teva construcció explicant com trasllades la longitud de la hipotenusa sobre la recta real amb l'ajuda del compàs.
El nombre d'or, denotat per la lletra grega $\phi$ (fi), és un nombre irracional que apareix freqüentment en l'art, l'arquitectura i la natura. El seu valor exacte és…
El nombre d'or, denotat per la lletra grega $\phi$ (fi), és un nombre irracional que apareix freqüentment en l'art, l'arquitectura i la natura. El seu valor exacte és $\phi = \frac{1+\sqrt{5}}{2}$.
Sabent que $\sqrt{5} \approx 2,23606$, calcula el valor aproximat de $\phi$ arrodonit a quatre xifres decimals.
Explica detalladament els passos geomètrics que megueries per representar el nombre $\phi$ de forma exacta a la recta real.
Com que un irracional té infinites xifres, a la pràctica sempre treballem amb una aproximació. El que importa és saber quant ens equivoquem.
Practica★☆☆Sense començar
Els nombres reals són densos, la qual cosa significa que entre dos nombres reals sempre hi ha infinits nombres reals. Troba dos nombres racionals i dos nombres…
Els nombres reals són densos, la qual cosa significa que entre dos nombres reals sempre hi ha infinits nombres reals.
Troba dos nombres racionals i dos nombres irracionals que estiguin estrictament compresos entre $5,1$ i $5,2$.
Atès el nombre irracional $\sqrt{11} \approx 3,31662479...$: Escriu la seva aproximació per truncament a les mil·lèsimes. Escriu la seva aproximació per arrodoniment a…
Atès el nombre irracional $\sqrt{11} \approx 3,31662479...$:
Escriu la seva aproximació per truncament a les mil·lèsimes.
Escriu la seva aproximació per arrodoniment a les mil·lèsimes.
Calcula l'error absolut comès en l'aproximació per arrodoniment.
Sigui el nombre $a = 1,9999...$ (amb infinits nous a la seva part decimal) i el nombre $b = 2$. Expressa el nombre $a$ en forma de fracció generatriu. Basant-te en el…
Sigui el nombre $a = 1,9999...$ (amb infinits nous a la seva part decimal) i el nombre $b = 2$.
Expressa el nombre $a$ en forma de fracció generatriu.
Basant-te en el resultat anterior, existeix algun nombre real estrictament comprès entre $a$ i $b$? Justifica la teva resposta raonant sobre la densitat dels nombres reals.
Que $\sqrt{2}$ no es pugui escriure com a fracció no és evident a simple vista: es demostra suposant el contrari i arribant a un absurd.
Practica★★☆Sense començar
Justifica si les afirmacions següents són sempre certes, a vegades certes o mai certes, proporcionant un exemple en cada cas: La suma de dos nombres irracionals dona com…
Justifica si les afirmacions següents són sempre certes, a vegades certes o mai certes, proporcionant un exemple en cada cas:
La suma de dos nombres irracionals dona com a resultat un nombre irracional.
El producte d'un nombre racional diferent de zero per un nombre irracional és irracional.
El quadrat d'un nombre irracional és un nombre racional.
Demostra per reducció a l'absurd que $\sqrt{3}$ és un nombre irracional. Per a fer-ho, assumeix que $\sqrt{3}$ és racional, és a dir, que es pot expressar com una…
Demostra per reducció a l'absurd que $\sqrt{3}$ és un nombre irracional. Per a fer-ho, assumeix que $\sqrt{3}$ és racional, és a dir, que es pot expressar com una fracció irreductible $\frac{p}{q}$ (on $p$ i $q$ són enters sense divisors comuns). Eleva al quadrat tots dos termes i analitza la paritat o divisibilitat entre 3 de $p$ i $q$ per arribar a una contradicció.