Inequacions de segon grau
Una inequació de segon grau pregunta on una paràbola queda per damunt o per sota de l'eix X. La forma més fiable de resoldre-la és amb una taula de signes; la més intuïtiva és mirar directament el dibuix de la paràbola.
De l'equació a la inequació
En la gràfica, $x^2-2x-3=0$ en $x=-1$ i $x=3$ (les arrels). Entre aquests dos valors la paràbola està per sota de l'eix ($y<0$); fora d'aquest tram està per damunt ($y>0$).
La figura mostra la paràbola $y = x^2 - 2x - 3$. Utilitza-la per resoldre l'inequació $x^2 - 2x - 3 \leq 0$, explicant quina zona de la gràfica s'ha de mirar.
La figura mostra la paràbola $y = x^2 - 2x - 3$.
Utilitza-la per resoldre l'inequació $x^2 - 2x - 3 \leq 0$, explicant quina zona de la gràfica s'ha de mirar.
Resoldre amb taula de signes
Resol l'inequació $x^2 - 5x + 6 \leq 0$ factoritzant el polinomi i estudiant el signe dels factors. Expressa la solució com un interval.
Resol l'inequació $x^2 - 5x + 6 \leq 0$ factoritzant el polinomi i estudiant el signe dels factors. Expressa la solució com un interval.
Resol l'inequació $(x - 1)(x + 3) > 0$ construint una taula de signes.
Resol l'inequació $(x - 1)(x + 3) > 0$ construint una taula de signes.
Un alumne resol així l'inequació $x^2 - 4x > 0$: «divideixo tots dos membres entre $x$ i queda $x - 4 > 0$, per tant la solució és $x > 4$». Explica els dos errors que…
Un alumne resol així l'inequació $x^2 - 4x > 0$: «divideixo tots dos membres entre $x$ i queda $x - 4 > 0$, per tant la solució és $x > 4$». Explica els dos errors que ha comès (un de relacionat amb el signe de $x$ i un altre amb les solucions perdudes) i resol l'inequació correctament.
Casos sense dues arrels
No sempre hi ha dos trams "tallats": si el discriminant és $0$ o negatiu, la paràbola no creua l'eix dues vegades, i aleshores és sempre positiva, sempre negativa, o gairebé (llevat d'un punt).
Resol la inequació $-x^2 + 6x - 5 > 0$. Quina particularitat té respecte a les inequacions amb el coeficient de $x^2$ positiu i com la resols?
Resol la inequació $-x^2 + 6x - 5 > 0$. Quina particularitat té respecte a les inequacions amb el coeficient de $x^2$ positiu i com la resols?
Troba els valors de $k$ per als quals l'inequació $x^2 + kx + 9 > 0$ es verifica per a qualsevol nombre real $x$. Pista: pensa en quantes arrels reals ha de tenir el…
Troba els valors de $k$ per als quals l'inequació $x^2 + kx + 9 > 0$ es verifica per a qualsevol nombre real $x$. Pista: pensa en quantes arrels reals ha de tenir el polinomi perquè això passi.
Sistemes i inequacions reductibles
Com amb les de primer grau, un sistema es resol fent la intersecció de les solucions de cada inequació. I algunes inequacions que semblen de segon grau se simplifiquen a una altra cosa: comprova sempre si els termes en $x^2$ es cancel·len.
Resol el sistema d'inequacions $\begin{cases} x^2 - 9 \leq 0 \\ 2x + 1 > 3 \end{cases}$ i expressa la solució com un interval.
Resol el sistema d'inequacions $\begin{cases} x^2 - 9 \leq 0 \\ 2x + 1 > 3 \end{cases}$ i expressa la solució com un interval.
a) Resol l'inequació $(x - 2)^2 + 3x \geq x^2 + 2$. b) Encara que a l'enunciat apareix $x^2$, l'inequació no és de segon grau: explica per què i comenta si calia…
- a) Resol l'inequació $(x - 2)^2 + 3x \geq x^2 + 2$. b) Encara que a l'enunciat apareix $x^2$, l'inequació no és de segon grau: explica per què i comenta si calia utilitzar el procediment de les inequacions quadràtiques.
Problemes: alçades, àrees i beneficis
En un espectacle pirotècnic, l'altura $h$, en metres, d'un coet als $t$ segons del llançament ve donada per $h(t) = -5t^2 + 40t$. a) En quins instants es troba el coet…
En un espectacle pirotècnic, l'altura $h$, en metres, d'un coet als $t$ segons del llançament ve donada per $h(t) = -5t^2 + 40t$. a) En quins instants es troba el coet exactament a $60$ m d'altura? b) Durant quant de temps està per sobre dels $60$ m? c) Quant dura el vol complet del coet?
El benefici setmanal, en euros, que obté un taller de bicicletes en reparar $x$ bicis és $B(x) = -2x^2 + 80x$. a) Per a quins nombres de reparacions setmanals el taller…
El benefici setmanal, en euros, que obté un taller de bicicletes en reparar $x$ bicis és $B(x) = -2x^2 + 80x$. a) Per a quins nombres de reparacions setmanals el taller té beneficits? b) Per a quins el benefici supera els $600\ \text{€}$? c) Quantes reparacions setmanals maximitzen el benefici?