Funció exponencial
Un bacteri es divideix en dos cada hora. Una substància radioactiva perd la meitat de la seva massa cada cert temps. En tots dos casos, la quantitat no canvia sumant sempre el mateix (com en una recta), sinó multiplicant sempre pel mateix nombre. Això és creixement o decreixement exponencial, i creix —o decreix— moltíssim més de pressa del que la intuïció sol esperar.
La funció exponencial
-
Totes les funcions $y=a^x$ passen pel punt $(0, 1)$, perquè $a^0=1$ sempre.
-
També passen per $(1, a)$.
Determina el domini, el recorregut i l'equació de l'asímptota horitzontal de la funció exponencial $f(x) = 2,5^x$. Talla aquesta funció l'eix d'abscisses en algun punt?…
Determina el domini, el recorregut i l'equació de l'asímptota horitzontal de la funció exponencial $f(x) = 2,5^x$. Talla aquesta funció l'eix d'abscisses en algun punt? Raona la teva resposta.
Creixement si $a>1$, decreixement si $0<a<1$
Completa una taula de valors per a la funció $f(x) = 5^{-x}$ prenent els valors enters de $x$ des de $-2$ fins a $2$. Escriu una funció exponencial equivalent a $f(x)$…
Completa una taula de valors per a la funció $f(x) = 5^{-x}$ prenent els valors enters de $x$ des de $-2$ fins a $2$. Escriu una funció exponencial equivalent a $f(x)$ però que tingui l'exponent positiu.
Calcula la taxa de variació mitjana de la funció exponencial $f(x) = 3^x$ en els intervals $[1, 2]$ i $[2, 3]$. Què observes en comparar tots dos resultats? Què indica…
Calcula la taxa de variació mitjana de la funció exponencial $f(x) = 3^x$ en els intervals $[1, 2]$ i $[2, 3]$. Què observes en comparar tots dos resultats? Què indica això sobre el ritme de creixement de la funció exponencial en comparació amb una funció lineal?
L'asímptota horitzontal i les translacions
A $g(x) = a^{x-p}+q$, l'exponent $x-p$ desplaça la corba $p$ unitats en horitzontal, i el $+q$ final la desplaça $q$ unitats en vertical, arrossegant amb ella l'asímptota: la nova asímptota és $y=q$.
Indica quines de les expressions algebraiques següents corresponen a una funció exponencial i justifica la teva resposta: a) $f(x) = x^3$ b) $g(x) = 3^x$ c) $h(x) = 3x$…
Indica quines de les expressions algebraiques següents corresponen a una funció exponencial i justifica la teva resposta:
- a) $f(x) = x^3$
- b) $g(x) = 3^x$
- c) $h(x) = 3x$
- d) $i(x) = \left(\frac{1}{4}\right)^x$
- e) $j(x) = 1^x$
A partir de la funció $f(x) = 2^x$, explica quines transformacions geomètriques (traslacions) cal aplicar per obtenir la gràfica de la funció $g(x) = 2^{x-3} + 4$.…
A partir de la funció $f(x) = 2^x$, explica quines transformacions geomètriques (traslacions) cal aplicar per obtenir la gràfica de la funció $g(x) = 2^{x-3} + 4$. Indica quina és l'equació de l'asímptota horitzontal de la funció $g(x)$.
La gràfica següent correspon a una funció exponencial de la forma $f(x) = 2^{x-p} + q$. Observant l'asímptota horitzontal i els punts destacats a la corba, determina els…
La gràfica següent correspon a una funció exponencial de la forma $f(x) = 2^{x-p} + q$. Observant l'asímptota horitzontal i els punts destacats a la corba, determina els valors dels paràmetres $p$ i $q$, i escriu l'expressió analítica completa de la funció.
Interès compost i desintegració
Una família diposita $6000$ euros en un compte d'estalvi que ofereix un interès compost anual del $2,5\%$. Escriu la funció $C(t)$ que expressa el capital acumulat al…
Una família diposita $6000$ euros en un compte d'estalvi que ofereix un interès compost anual del $2,5\%$. Escriu la funció $C(t)$ que expressa el capital acumulat al cap de $t$ anys. Quin serà el saldo del compte després de $8$ anys si no es fa cap moviment? Arrodoneix el resultat a dues xifres decimals.
Una substància radioactiva perd la meitat de la seva massa cada $15$ dies. Si en el moment inicial hi ha una mostra de $200$ grams, escriu la funció $M(t)$ que modelitza…
Una substància radioactiva perd la meitat de la seva massa cada $15$ dies. Si en el moment inicial hi ha una mostra de $200$ grams, escriu la funció $M(t)$ que modelitza la massa restant en funció del temps $t$ (en dies). Quants grams quedaran exactament després de $60$ dies?
El preu d'un component tecnològic es devalua amb el temps segons una funció exponencial de la forma $V(t) = k \cdot a^t$, on $t$ es mesura en anys. Si el component…
El preu d'un component tecnològic es devalua amb el temps segons una funció exponencial de la forma $V(t) = k \cdot a^t$, on $t$ es mesura en anys. Si el component costava $800$ euros quan era nou ($t=0$) i al cap de $2$ anys el seu valor és de $450$ euros, calcula els valors exactes de $k$ i $a$. Quin serà el seu valor als $4$ anys?
Determina i justifica per a quins valors del paràmetre $m$ la funció $f(x) = \left(\frac{2m - 5}{3}\right)^x$ representa una funció exponencial strictly decreixent.…
Determina i justifica per a quins valors del paràmetre $m$ la funció $f(x) = \left(\frac{2m - 5}{3}\right)^x$ representa una funció exponencial strictly decreixent. Tingues en compte les condicions algebraiques que ha de complir la base d'una funció exponencial d'aquest tipus.
Torna al principi: Si parteixes d'un sol bacteri que es divideix en dos cada hora, al cap d'un dia ($24$ hores) hi haurà $1 \cdot 2^{24} = 16\,777\,216$ bacteris, gairebé $17$ milions a partir d'un de sol!