Semejanza de triángulos

Dos triángulos son semejantes si tienen sus ángulos iguales. Comprueba si los siguientes dos triángulos son semejantes calculando el ángulo que falta en cada uno:

• El triángulo A tiene dos ángulos que miden $45^\circ$ y $75^\circ$.

• El triángulo B tiene dos ángulos que miden $75^\circ$ y $60^\circ$.

Recuerda que la suma de los ángulos interiores de cualquier triángulo siempre es $180^\circ$.

Dos alumnos de 2º de ESO, Lucía y Marcos, están comprobando si dos velas triangulares de sus barcos de vela ligera son semejantes. La vela de Lucía tiene dos ángulos que miden $65^\circ$ y $45^\circ$. La vela de Marcos tiene un ángulo de $45^\circ$ y otro de $70^\circ$.

a) Calcula el tercer ángulo de cada una de las velas.

b) Razona, utilizando los criterios de semejanza, si las dos velas tienen la misma forma (son semejantes).

Disponemos de dos triángulos isósceles. El primero tiene un ángulo desigual de $40^\circ$ y sus lados iguales miden $10\text{ cm}$ cada uno. El segundo tiene también un ángulo de $40^\circ$ pero sus lados iguales miden $15\text{ cm}$.

a) ¿Son semejantes estos dos triángulos? Justifica tu respuesta citando el criterio de semejanza aplicado.

b) ¿Cuál es la razón de semejanza entre el segundo y el primero?

c) Si la base del primer triángulo mide $6,84\text{ cm}$, ¿cuánto medirá la base del segundo?

Calcula la razón de semejanza $k$ que convierte al triángulo pequeño en el triángulo grande, sabiendo que son semejantes. Una vez hallada la $k$, indica cuánto debe medir el lado marcado con la letra $x$.

Calcula la distancia entre los puntos $B$ y $E$ de la siguiente figura, sabiendo que los segmentos $BC$ y $DE$ son paralelos. Los datos conocidos son: $AB = 6\text{ cm}$, $BC = 5\text{ cm}$ y $DE = 12,5\text{ cm}$.

En el diseño de una estructura metálica para un tejado, se utilizan dos vigas paralelas para reforzar la armadura principal. Sabiendo que los triángulos que se forman están en posición de Tales, calcula la longitud de los segmentos marcados como $x$ e $y$ en el siguiente esquema:

(Nota: En la base, el segmento pequeño mide $4\text{ m}$ y el total $10\text{ m}$. El refuerzo paralelo mide $3\text{ m}$. Halla $x$, la base restante, e $y$, el lado derecho del refuerzo).

Para calcular la anchura de un río sin cruzarlo, un topógrafo coloca varias estacas como se muestra en la figura. Los triángulos formados, $ABC$ y $CDE$, son semejantes porque las orillas son paralelas y las líneas de visión se cruzan en el punto $C$. Si las medidas tomadas son $AB = 24$ m, $BC = 30$ m y $CD = 15$ m, determina la anchura del río ($ED$) y explica qué criterio de semejanza has aplicado.

Para medir la altura de una canasta de baloncesto, un grupo de estudiantes utiliza un palo de $1,5$ metros colocado verticalmente. En el mismo instante en que la sombra del palo mide $1,2$ metros, la sombra de la canasta proyectada en el suelo mide $2,4$ metros. Calcula la altura de la canasta aprovechando la semejanza de los triángulos formados por el sol.

Un grupo de estudiantes de 2º de ESO quiere medir la altura de la torre de comunicación de su ciudad. Para ello, utilizan un poste vertical de $2,5$ metros de altura. Colocan el poste de tal manera que, en un momento determinado, el extremo de la sombra de la torre y el del poste coinciden en el mismo punto del suelo. Si la distancia entre la base del poste y el punto donde terminan las sombras es de $3,2$ metros, y la distancia entre la base de la torre y la base del poste es de $18,4$ metros, calcula la altura de la torre.

Un carpintero está diseñando una estantería reforzada con un travesaño en forma de triángulo rectángulo. En el triángulo de la base, la altura sobre la hipotenusa divide a esta en dos segmentos que miden $18$ cm y $32$ cm. El carpintero necesita saber la longitud de los dos listones que forman los catetos del triángulo para comprarlos. Calcula la medida de ambos catetos y la altura del travesaño utilizando las relaciones de semejanza en triángulos rectángulos.