En un videojoc de plataformes, l'alçada d'un personatge que salta segueix una corba: puja, arriba a dalt i torna a tocar el terra. Els instants en què toca el terra són just els punts on aquesta corba talla l'eix horitzontal. Si l'alçada ve donada per un polinomi $P(x)$, aquests instants són les seves arrels: els valors de $x$ per als quals $P(x) = 0$. Aquest apartat va de trobar-les sense haver de dibuixar la gràfica cada vegada.
Justifica, sense fer cap càlcul complex ni usar la regla de Ruffini, per què $x = 0$ és obligatòriament una arrel del polinomi $V(x) = 5x^5 - 7x^3 + 2x^2 - 9x$.
Justifica, sense fer cap càlcul complex ni usar la regla de Ruffini, per què $x = 0$ és obligatòriament una arrel del polinomi $V(x) = 5x^5 - 7x^3 + 2x^2 - 9x$.
Si representes $y = P(x)$, les seves arrels són exactament els punts on la corba toca o travessa l'eix $X$. Per això de vegades se les anomena també "zeros" del polinomi.
Fixa't en la gràfica: hi ha tres punts marcats sobre l'eix $X$, i aquests són els tres valors de $x$ que anul·len el polinomi. Observa també que una arrel doble (el polinomi toca l'eix sense travessar-lo, com una arrel que es repeteix dues vegades) es veu diferent d'una de simple: la corba "rebota" en lloc de travessar.
Practica★☆☆Sense començar
Observa la gràfica de la funció polinòmica $y = P(x)$ i escriu quines són les seves arrels reals basant-te en els punts d'intersecció amb els eixos.
Observa la gràfica de la funció polinòmica $y = P(x)$ i escriu quines són les seves arrels reals basant-te en els punts d'intersecció amb els eixos.
Ruffini: dividir entre $(x-a)$ i comprovar el residu
Substituir funciona bé per comprovar un candidat, però quan ja saps (o sospites) que $a$ és arrel, la regla de Ruffini et dona a més el quocient, és a dir, el polinomi que queda en "treure" aquesta arrel.
Si el residu de la divisió de $P(x)$ entre $(x-a)$ és $0$, llavors $a$ és arrel i $(x-a)$ és un factor de $P(x)$. Si el residu no és $0$, $a$ no és arrel: no cal provar res més amb aquest nombre.
Practica★☆☆Sense començar
Utilitza la regla de Ruffini per comprovar si $x = 3$ és una arrel del polinomi $Q(x) = 2x^4 - 5x^3 - 4x^2 + 7x - 6$.
Utilitza la regla de Ruffini per comprovar si $x = 3$ és una arrel del polinomi $Q(x) = 2x^4 - 5x^3 - 4x^2 + 7x - 6$.
Candidats a arrel entera: els divisors del terme independent
Provar nombres a l'atzar és ineficient. Si el polinomi té coeficients enters, les seves arrels enteres (si en té) són sempre entre els divisors del terme independent.
Practica★☆☆Sense començar
Escriu tots els nombres enters que són candidats a ser arrels del polinomi mònic $R(x) = x^4 + 3x^3 - 5x^2 + x - 12$, basant-te en el seu terme independent.
Escriu tots els nombres enters que són candidats a ser arrels del polinomi mònic $R(x) = x^4 + 3x^3 - 5x^2 + x - 12$, basant-te en el seu terme independent.
Determina totes les arrels racionals del polinomi $R(x) = 3x^3 + 5x^2 - 4x - 4$. Per fer-ho, indica primer la llista completa de fraccions candidates i després comprova…
Determina totes les arrels racionals del polinomi $R(x) = 3x^3 + 5x^2 - 4x - 4$. Per fer-ho, indica primer la llista completa de fraccions candidates i després comprova quines anul·len el polinomi.
Si coneixes totes les arrels d'un polinomi, pots escriure'l directament com a producte de factors $(x - \text{arrel})$, multiplicats pel coeficient principal. Aquesta és la idea que connecta les arrels amb la factorització que treballaràs a fons amb factor comú i identitats notables en altres apartats.
Aquest procés es basa en el factor comú i les identitats notables per simplificar abans d'utilitzar Ruffini: totes dues eines es tracten amb detall en els apartats de factorització de polinomis.
Practica★☆☆Sense començar
Construeix un polinomi de tercer grau, desenvolupat i ordenat, que tingui com a arrels exactes $x = 1$, $x = -3$ i $x = 4$, i el coeficient principal del qual sigui $1$.
Construeix un polinomi de tercer grau, desenvolupat i ordenat, que tingui com a arrels exactes $x = 1$, $x = -3$ i $x = 4$, i el coeficient principal del qual sigui $1$.
Escriu un polinomi de quart grau, en la seva forma desenvolupada, que tingui $x = 2$ com a arrel doble, $x = -1$ com a arrel simple, que no tingui terme independent i el…
Escriu un polinomi de quart grau, en la seva forma desenvolupada, que tingui $x = 2$ com a arrel doble, $x = -1$ com a arrel simple, que no tingui terme independent i el coeficient del terme de major grau del qual sigui $3$.
Sabent que un polinomi de tercer grau mònic $P(x) = x^3 + ax^2 + bx + c$ té com a arrels $x_1 = -1$, $x_2 = 2$ i $x_3 = 4$, determina el valor numèric del seu terme…
Sabent que un polinomi de tercer grau mònic $P(x) = x^3 + ax^2 + bx + c$ té com a arrels $x_1 = -1$, $x_2 = 2$ i $x_3 = 4$, determina el valor numèric del seu terme independent $c$ i del seu coeficient de grau dos $a$. Justifica la teva resposta deduint-ho a partir de la forma factoritzada sense necessitat de fer tota la multiplicació dels tres binomis.