Semblança de rectangles
Les pantalles, les fotos i els fulls de paper són rectangles, i gairebé mai no penses si són "semblants" entre ells. Però quan amplies una foto, tries una resolució de pantalla o fotocopies a una altra mida, estàs fent servir (o trencant) la semblança de rectangles sense adonar-te'n.
Quan dos rectangles són semblants
Comprova si la pantalla d'una tauleta amb una resolució de $2048 \times 1536$ píxels és matemàticament semblant a la pantalla d'un monitor d'ordinador amb una resolució…
Comprova si la pantalla d'una tauleta amb una resolució de $2048 \times 1536$ píxels és matemàticament semblant a la pantalla d'un monitor d'ordinador amb una resolució de $2560 \times 1440$ píxels. Justifica la teva resposta calculant la raó de proporcionalitat entre els seus costats.
Una fotografia impresa té unes dimensions de $10 \text{ cm}$ d'amplada per $15 \text{ cm}$ de llargada. Volem fer una ampliació per a un pòster de manera que sigui…
Una fotografia impresa té unes dimensions de $10 \text{ cm}$ d'amplada per $15 \text{ cm}$ de llargada. Volem fer una ampliació per a un pòster de manera que sigui semblant a l'original. Si l'amplada de l'ampliació ha de ser de $60 \text{ cm}$, quant mesurarà la seva llargada?
Formats de pantalla: la relació d'aspecte
En vídeo i fotografia, la "relació d'aspecte" (per exemple $16{:}9$) és justament la raó base/altura que defineix una família completa de rectangles semblants, tant si és una pantalla de mòbil com una de cinema.
La relació d'aspecte d'un televisor panoràmic modern és de $16:9$, la qual cosa significa que el rectangle de la seva pantalla és semblant a un rectangle de…
La relació d'aspecte d'un televisor panoràmic modern és de $16:9$, la qual cosa significa que el rectangle de la seva pantalla és semblant a un rectangle de $16 \text{ cm}$ de base i $9 \text{ cm}$ d'altura. Si la base de la pantalla d'un televisor mesura $104 \text{ cm}$, quant mesura la seva altura?
Una pantalla de televisió té una diagonal de $55 \text{ polzades}$ i el seu format és semblant a un rectangle de $16 \times 9$. Sabent que $1 \text{ polzada}$ equival a…
Una pantalla de televisió té una diagonal de $55 \text{ polzades}$ i el seu format és semblant a un rectangle de $16 \times 9$. Sabent que $1 \text{ polzada}$ equival a $2,54 \text{ cm}$, calcula les dimensions exactes (base i altura) de la pantalla en centímetres.
El format DIN: doblegar per la meitat sense perdre la proporció
La mida de paper DIN (A4, A3, A5...) té una propietat especial: en tallar un full per la meitat, paral·lelament al costat curt, els dos trossos són semblants al full original.
Un full estàndard de mida DIN A4 mesura $210 \text{ mm}$ d'amplada per $297 \text{ mm}$ de llargada. Si el tallem per la meitat amb un tall paral·lel al costat menor,…
Un full estàndard de mida DIN A4 mesura $210 \text{ mm}$ d'amplada per $297 \text{ mm}$ de llargada. Si el tallem per la meitat amb un tall paral·lel al costat menor, obtenim dues quartilles de mida DIN A5. Calcula les dimensions del DIN A5 i divideix el seu costat major entre el seu costat menor per comprovar si manté aproximadament la mateixa proporció que el DIN A4 original.
El format de paper DIN es basa en la propietat geomètrica que, en dividir un plec per la meitat mitjançant un tall paral·lel al seu costat menor, els dos nous rectangles…
El format de paper DIN es basa en la propietat geomètrica que, en dividir un plec per la meitat mitjançant un tall paral·lel al seu costat menor, els dos nous rectangles obtinguts són semblants al rectangle original. Demostra algebraicament que perquè un rectangle de costats $a$ i $b$ (amb $a > b$) compleixi aquesta propietat, la raó entre el costat major i el costat menor ha de ser exactament $\sqrt{2}$.
Marcs i ampliacions: quan *no* es conserva la semblança
Afegir un marc de gruix constant a un rectangle, o una franja d'amplada fixa, gairebé mai no conserva la semblança: el gruix cal repartir-lo amb cura perquè sí que la conservi.
Es disposa d'una taula de fusta rectangular de $120 \text{ cm}$ de llargada i $90 \text{ cm}$ d'amplada. Es vol fer un únic tall recte paral·lel al costat menor per…
Es disposa d'una taula de fusta rectangular de $120 \text{ cm}$ de llargada i $90 \text{ cm}$ d'amplada. Es vol fer un únic tall recte paral·lel al costat menor per rebutjar una franja d'amplada $x$, de manera que el rectangle de fusta restant sigui semblant al rectangle original. Calcula el valor de $x$.
Un quadre rectangular té unes dimensions de $a$ (base) i $b$ (altura), amb $a > b$. S'hi afegeix un marc de fusta que té un gruix horitzontal $x$ (als laterals esquerre…
Un quadre rectangular té unes dimensions de $a$ (base) i $b$ (altura), amb $a > b$. S'hi afegeix un marc de fusta que té un gruix horitzontal $x$ (als laterals esquerre i dret) i un gruix vertical $y$ (a dalt i a baix). Demostra de forma algebraica que, perquè el rectangle exterior del marc sigui semblant al rectangle interior del quadre, els gruixos han de complir estrictament la proporció $\frac{x}{y} = \frac{a}{b}$.