Proporcionalitat composta
Cinc aixetes omplen un dipòsit en 8 hores. Però, i si a més canvia la mida del dipòsit? Ara hi ha tres magnituds en joc: aixetes, hores i litres. La proporcionalitat composta combina diverses relacions directes i inverses alhora.
Tres magnituds, dues relacions
Si més obrers fan la mateixa obra en menys dies (relació obrers–dies inversa), però una obra més gran necessita més dies amb el mateix nombre d'obrers (relació obra–dies directa), les dues relacions actuen alhora.
Tres màquines envasadores produeixen $500$ peces en $4$ hores de funcionament ininterromput. Quantes peces produiran $5$ màquines idèntiques si funcionen durant $6$…
Tres màquines envasadores produeixen $500$ peces en $4$ hores de funcionament ininterromput. Quantes peces produiran $5$ màquines idèntiques si funcionen durant $6$ hores?
El mètode: una relació cada vegada
Un equip de $4$ pintors aconsegueix pintar un mur de $100 \text{ m}^2$ en $5$ dies. Si es contracten $2$ pintors més perquè treballin al mateix ritme, quants dies…
Un equip de $4$ pintors aconsegueix pintar un mur de $100 \text{ m}^2$ en $5$ dies. Si es contracten $2$ pintors més perquè treballin al mateix ritme, quants dies necessitaran en total els $6$ pintors per pintar un mur de $150 \text{ m}^2$?
En una oficina, $6$ impressores treballant simultàniament imprimeixen $1200$ pàgines en $2$ hores. Quantes impressores de les mateixes característiques es necessiten per…
En una oficina, $6$ impressores treballant simultàniament imprimeixen $1200$ pàgines en $2$ hores. Quantes impressores de les mateixes característiques es necessiten per imprimir $2400$ pàgines en $3$ hores?
Quan una relació és inversa
Per collir un camp de cereals de $12 \text{ ha}$, $5$ recol·lectores treballant $8$ hores diàries necessiten $3$ dies complets. Quants dies necessitaran $4$…
Per collir un camp de cereals de $12 \text{ ha}$, $5$ recol·lectores treballant $8$ hores diàries necessiten $3$ dies complets. Quants dies necessitaran $4$ recol·lectores treballant $10$ hores diàries per collir un camp de $15 \text{ ha}$?
Una impremta utilitza $4$ màquines rotatives treballant $10$ hores diàries i triga $15$ dies a imprimir la primera edició d'una novel·la. Si l'editorial exigeix acabar…
Una impremta utilitza $4$ màquines rotatives treballant $10$ hores diàries i triga $15$ dies a imprimir la primera edició d'una novel·la. Si l'editorial exigeix acabar una segona edició idèntica en $12$ dies i la impremta disposa de $5$ màquines, quantes hores diàries hauran de treballar les màquines per complir el termini?
Magnituds al quadrat o al cub
De vegades una magnitud no depèn linealment d'una altra: la superfície d'una esfera depèn del quadrat del radi, i el seu volum, del cub.
Per pintar un dipòsit esfèric de radi $R$, un equip de $5$ pintors necessita $8$ dies treballant $6$ hores diàries. Quants dies necessitaran $4$ pintors, treballant $8$…
Per pintar un dipòsit esfèric de radi $R$, un equip de $5$ pintors necessita $8$ dies treballant $6$ hores diàries. Quants dies necessitaran $4$ pintors, treballant $8$ hores diàries, per pintar un dipòsit esfèric de radi $2R$? (Recordatori: la superfície a pintar d'una esfera és proporcional al quadrat del seu radi).
Deu teixidors, treballant $8$ hores diàries, elaboren una peça de tela de $40 \text{ m}$ de llarg i $2 \text{ m}$ d'ample en $5$ dies. Quants teixidors, treballant $10$…
Deu teixidors, treballant $8$ hores diàries, elaboren una peça de tela de $40 \text{ m}$ de llarg i $2 \text{ m}$ d'ample en $5$ dies. Quants teixidors, treballant $10$ hores diàries, es requeriran per elaborar una peça de tela de $60 \text{ m}$ de llarg i $3 \text{ m}$ d'ample en $6$ dies? (Tingues en compte que la quantitat de treball realitzat és directament proporcional a la superfície total de la tela).
Torna al principi: si volguéssim omplir un dipòsit amb el triple de litres usant 6 aixetes en lloc de 5, trigaríem $8 \cdot \dfrac{5}{6} \cdot 3 = 20$ hores (com més aixetes, menys temps; com més litres, més temps).