ESO 4tA · Matemàtiques
combinatòria · Combinatòria
Factorial
Què és el factorial? Simplificar fraccions de factorials Factorials amb lletres Equacions amb factorials Resum
En l'apartat anterior va aparèixer una vegada i una altra el mateix producte: $n \cdot (n-1) \cdot (n-2) \cdots 1$. Apareix tantes vegades en combinatòria que té el seu propi nom i el seu propi símbol: el factorial . Val la pena dominar-lo bé, perquè t'acompanyarà en tot el que ve després.
Què és el factorial?
El factorial d'un nombre natural $n$, escrit $n!$, és el producte de tots els nombres naturals des de $n$ fins a $1$:
$$n! = n \cdot (n-1) \cdot (n-2) \cdots 2 \cdot 1$$
Per conveni, $0! = 1$ (hi ha exactament una manera de no ordenar res).
Taula de valors del factorial de 0 a 7 que il·lustra el seu ràpid creixement
0! = 1
1! = 1
2! = 2 · 1 = 2
3! = 3 · 2 · 1 = 6
4! = 24
5! = 120
6! = 720
7! = 5 040
creix moltíssim més de pressa que n
Fixa't en com creix de pressa: de $6!=720$ a $7!=5\,040$ només multipliques per $7$, però el salt és enorme. Per això en combinatòria els nombres es disparen tan de pressa.
El factorial no és un capritx: és justament el nombre de permutacions de $n$ elements diferents que vas veure en l'apartat anterior, $P_n = n!$.
Calculem cada factorial per separat: $6! = 720$ i $4! = 24$.
Restem: $720 - 24 = 696$.
Compte: no es pot «simplificar» el 6 amb el 4 abans de desenvolupar, perquè no són una fracció, són una resta.
Pas següent (1/3)
No pots dividir els nombres abans d'aplicar el factorial. Si desenvolupes, $\dfrac{6!}{3!} = \dfrac{720}{6} = 120$, mentre que $2! = 2$. Per simplificar fraccions has de desenvolupar i cancel·lar els factors comuns.
En Marcos afirma que $3! \cdot 2! = 6!$ perquè multiplica les bases. És correcte?
Mostra la resposta No és correcte. Per separat, $3! \cdot 2! = 6 \cdot 2 = 12$, mentre que $6! = 720$. No es poden multiplicar els nombres interiors abans de calcular els factorials.
★☆☆ Sense començar
Calcula el valor exacte de l'expressió $6! - 4!$. Calcula el valor exacte de l'expressió $6! - 4!$.
Resoldre
Simplificar fraccions de factorials
Calcular $100!$ a mà seria absurd, però moltes vegades no cal: quan el factorial gran està dividit entre un de més petit, gairebé tot es cancel·la.
$\dfrac{100!}{99!}$ no requereix calcular cap dels dos factorials complets. Escriu $100! = 100 \cdot 99!$ i cancel·la: $\dfrac{100 \cdot 99!}{99!} = 100$.
Desenvolupem el numerador només fins on coincideix amb el denominador: $8! = 8 \cdot 7 \cdot 6!$.
$$\frac{8!}{6!} = \frac{8 \cdot 7 \cdot 6!}{6!} = 8 \cdot 7 = 56$$
Pas següent (1/2)
Desenvolupament i cancel·lació de factors comuns en simplificar una fracció amb factorials
8! = 8 · 7 · 6!
8 · 7 ·
6!
6!
= 56
el 6! (en gris) es cancel·la
El mateix truc funciona a l'inrevés, per escriure un producte com un quocient de factorials:
És el principi de $12!$, però tallat just després del $10$: ens falta multiplicar per $9 \cdot 8 \cdots 1$, és a dir, per $9!$.
$$12 \cdot 11 \cdot 10 = \frac{12!}{9!}$$
Pas següent (1/2)
En Marcos simplifica $\dfrac{8!}{4!}$ dividint directament els nombres i afirma que el resultat és $2! = 2$.
Mostra la resposta No es poden dividir els nombres que són dins d'un factorial. El correcte és desenvolupar el numerador fins a arribar al denominador, $8! = 8 \cdot 7 \cdot 6 \cdot 5 \cdot 4!$, i cancel·lar $4!$ per obtenir $8 \cdot 7 \cdot 6 \cdot 5 = 1680$.
★☆☆ Sense començar
Simplifica la següent fracció de factorials sense utilitzar calculadora: $\frac{8!}{6!}$. Simplifica la següent fracció de factorials sense utilitzar calculadora: $\frac{8!}{6!}$.
Resoldre
★☆☆ Sense començar
Expressa el producte numèric $12 \cdot 11 \cdot 10$ utilitzant una divisió de factorials. Expressa el producte numèric $12 \cdot 11 \cdot 10$ utilitzant una divisió de factorials.
Resoldre
Factorials amb lletres
La mateixa tècnica funciona quan el nombre no es coneix i s'escriu amb una lletra. És habitual en els exercicis de combinatòria haver de simplificar expressions com $\dfrac{n!}{(n-2)!}$.
Descomposició algebraica de n! destacant els factors n i n-1 i la cancel·lació de (n-2)! amb el denominador
n! =
n · (n−1)
· (n−2)!
↑ aquesta part és (n−2)!
i es cancel·la amb
el denominador
Desenvolupem el numerador parant just en $n!$: $(n+1)! = (n+1) \cdot n!$.
$$\frac{(n+1)!}{n!} = \frac{(n+1) \cdot n!}{n!} = n+1$$
Pas següent (1/2)
$$\frac{n!}{(n-k)!} = n \cdot (n-1) \cdots (n-k+1)$$
Són els $k$ factors més grans de $n!$: tants factors com indica $k$, començant en $n$ i baixant d'un en un.
Per què? En escriure $n! = n \cdot (n-1) \cdots (n-k+1) \cdot (n-k)!$, tot el bloc final coincideix amb el denominador $(n-k)!$ i es cancel·la.
$(n+1)! \neq n! + 1!$. El factorial és un producte, no admet repartiment entre una suma com faries amb $2(a+b) = 2a+2b$. L'única manera correcta d'obrir-lo és $(n+1)! = (n+1) \cdot n!$.
No signifiquen el mateix. En $(2n)!$ calcules el factorial del doble (per a $n=3$, $6! = 720$), mentre que en $2n!$ primer fas el factorial i després dobles el resultat ($2 \cdot 3! = 12$).
Quin quocient representa exactament aquest producte: $\dfrac{n!}{(n-2)!}$ o $\dfrac{n!}{2!}$?
Mostra la resposta És $\dfrac{n!}{(n-2)!}$. En desenvolupar $n!$ fins a $(n-2)!$, es cancel·len tots els factors des de $n-2$ cap avall i només sobreviuen $n \cdot (n-1)$.
★☆☆ Sense començar
Simplifica l'expressió algebraica $\frac{(n+1)!}{n!}$ indicant el resultat en funció de $n$. Simplifica l'expressió algebraica $\frac{(n+1)!}{n!}$ indicant el resultat en funció de $n$.
Resoldre
★★☆ Sense començar
Simplifica al màxim l'expressió algebraica $\frac{n!}{(n-2)!}$, desenvolupant el numerador fins a poder cancel·lar termes amb el denominador. Simplifica al màxim l'expressió algebraica $\frac{n!}{(n-2)!}$, desenvolupant el numerador fins a poder cancel·lar termes amb el denominador.
Resoldre
Equacions amb factorials
Si una equació té factorials d'una incògnita, el normal és simplificar primer (com en la secció anterior) perquè quedi una equació corrent.
Esquema del procés de resolució d'una equació amb factorials mitjançant simplificació algebraica i verificació de nombres naturals
x! = 120
es prova amb valors petits
3! = 6 4! = 24 5! = 120 ✓
El factorial només està definit per a nombres naturals (0, 1, 2, …). Al final, substitueix cada solució en l'equació original: si alguna expressió dins d'un factorial queda negativa o no entera (per exemple, $(-2)!$ o $3{,}5!$), aquesta solució no val encara que sigui matemàticament correcta en l'equació simplificada.
En resoldre $\dfrac{x!}{(x-2)!} = 12$, en Dani simplifica a $x(x-1) = 12$, arriba a $(x-4)(x+3) = 0$ i dona com a vàlides $x = 4$ i $x = -3$.
Mostra la resposta L'error és admetre $x = -3$: en l'equació original donaria $(-3)!$ i $(-5)!$, que no existeixen, perquè el factorial només està definit per a nombres naturals. En canvi, $x = 4$ sí que val: $\dfrac{4!}{2!} = \dfrac{24}{2} = 12$ ✓.
★☆☆ Sense començar
Determina el valor del nombre natural $x$ sabent que $x! = 120$. Determina el valor del nombre natural $x$ sabent que $x! = 120$.
Resoldre
★★☆ Sense començar
Resol l'equació $\frac{(x+2)!}{(x+1)!} = 15$ indicant el valor de $x$. Resol l'equació $\frac{(x+2)!}{(x+1)!} = 15$ indicant el valor de $x$.
Resoldre
Resum
$n! = n \cdot (n-1) \cdots 2 \cdot 1$, i per conveni $0! = 1$. Coincideix amb $P_n$, les permutacions de $n$ elements.
Per simplificar $\dfrac{n!}{m!}$ amb $n>m$, desenvolupa el numerador només fins a $m!$ i cancel·la.
$\dfrac{n!}{(n-k)!} = n \cdot (n-1) \cdots (n-k+1)$: els $k$ factors més grans de $n!$.
El factorial no es reparteix en una suma: $(n+1)! = (n+1) \cdot n!$, mai $n! + 1!$.
En equacions amb factorials, simplifica primer i descarta al final les solucions per a les quals alguna expressió dins d'un factorial no sigui un nombre natural.
← Anterior PermutacionsSegüent → Combinacions