Semblança de figures
Un mapa, el plànol d'una casa, dos envasos amb la mateixa forma però diferent mida: la semblança no és només cosa de triangles i rectangles. La generalitzarem a qualsevol figura i lligarem bé els caps entre longitud, àrea i volum.
Polígons semblants
Observa els dos polígons semblants de la figura. Calcula la longitud dels tres costats desconeguts del segon polígon sabent que el costat corresponent al de…
Observa els dos polígons semblants de la figura. Calcula la longitud dels tres costats desconeguts del segon polígon sabent que el costat corresponent al de $3 \text{ cm}$ mesura $6 \text{ cm}$.
Determina si dos rectangles són semblants sabent que les dimensions del primer són $15 \text{ cm}$ de base per $10 \text{ cm}$ d'altura, i les del segon són…
Determina si dos rectangles són semblants sabent que les dimensions del primer són $15 \text{ cm}$ de base per $10 \text{ cm}$ d'altura, i les del segon són $24 \text{ cm}$ de base per $16 \text{ cm}$ d'altura. Justifica la teva resposta.
Escales: de mapes a plànols d'arquitecte
Una escala $1:n$ diu quantes vegades és més gran la realitat que el dibuix. El dibuix i la realitat són dues figures semblants amb $k = n$.
En un mapa dissenyat a escala $1:25 000$, la distància en línia recta entre dos pobles és de $8 \text{ cm}$. Calcula quina és la distància real entre tots dos pobles…
En un mapa dissenyat a escala $1:25 000$, la distància en línia recta entre dos pobles és de $8 \text{ cm}$. Calcula quina és la distància real entre tots dos pobles expressada en quilòmetres.
La distància real en línia recta entre dues ciutats és de $120 \text{ km}$. Si les volem representar en un mapa a escala $1:500 000$, a quina distància estaran separades…
La distància real en línia recta entre dues ciutats és de $120 \text{ km}$. Si les volem representar en un mapa a escala $1:500 000$, a quina distància estaran separades en el mapa, expressada en centímetres?
En una pizzeria, una pizza petita de $20 \text{ cm}$ de diàmetre costa $6 \text{ \euro}$. Si el preu és estrictament proporcional a l'àrea de la pizza, quant hauria de…
En una pizzeria, una pizza petita de $20 \text{ cm}$ de diàmetre costa $6 \text{ \euro}$. Si el preu és estrictament proporcional a l'àrea de la pizza, quant hauria de costar una pizza familiar de $30 \text{ cm}$ de diàmetre?
Perímetre, àrea i volum segons $k$
Dos triangles són semblants amb una raó de semblança $k = 3$. Si el perímetre del triangle menor és de $14 \text{ cm}$, quin és el perímetre del triangle major?
Dos triangles són semblants amb una raó de semblança $k = 3$. Si el perímetre del triangle menor és de $14 \text{ cm}$, quin és el perímetre del triangle major?
L'àrea d'un quadrat és de $16 \text{ cm}^2$. Si construïm un quadrat semblant aplicant una raó de semblança $k = 2,5$, quina serà l'àrea del nou quadrat?
L'àrea d'un quadrat és de $16 \text{ cm}^2$. Si construïm un quadrat semblant aplicant una raó de semblança $k = 2,5$, quina serà l'àrea del nou quadrat?
Les àrees de dos pentàgons regulars són $25 \text{ cm}^2$ i $100 \text{ cm}^2$. Quina és la raó de semblança entre els costats del pentàgon major respecte als costats…
Les àrees de dos pentàgons regulars són $25 \text{ cm}^2$ i $100 \text{ cm}^2$. Quina és la raó de semblança entre els costats del pentàgon major respecte als costats del pentàgon menor?
De les cares als sòlids semblants
La mateixa regla val per a cossos geomètrics complets: dues caixes, dues llaunes o dues peces amb la mateixa forma però diferent mida són sòlids semblants, i el seu volum es multiplica per $k^3$.
Una caixa d'embalatge amb forma d'ortoedre té un volum de $50 \text{ dm}^3$. Si fabriquem una caixa semblant les dimensions de la qual són exactament el doble que les de…
Una caixa d'embalatge amb forma d'ortoedre té un volum de $50 \text{ dm}^3$. Si fabriquem una caixa semblant les dimensions de la qual són exactament el doble que les de l'original, quin serà el seu volum?
En ampliar una fotografia rectangular en un programa d'edició, la seva àrea s'ha incrementat en un $69\%$. Determina quina és la raó de semblança $k$ aplicada en…
En ampliar una fotografia rectangular en un programa d'edició, la seva àrea s'ha incrementat en un $69\%$. Determina quina és la raó de semblança $k$ aplicada en l'ampliació i calcula en quin percentatge ha augmentat el perímetre de la fotografia.
Comparar raons d'àrea, perímetre i volum entre elles
De vegades la dada que et donen no és $k$ directament, sinó la raó entre dues àrees, entre dos perímetres o entre dos volums. Cal desfer el camí: d'àrea a $k$ amb arrel quadrada, de volum a $k$ amb arrel cúbica, i d'aquí a allò que et demanin.
Dues esferes són semblants. L'àrea de la superfície de l'esfera major és $9$ vegades l'àrea de la superfície de la menor. Si el volum de l'esfera menor és de…
Dues esferes són semblants. L'àrea de la superfície de l'esfera major és $9$ vegades l'àrea de la superfície de la menor. Si el volum de l'esfera menor és de $4 \text{ cm}^3$, quin és el volum de l'esfera major?
Una peça d'enginyeria de titani pesa $4,5 \text{ kg}$. Es fabricarà una peça geomètricament semblant però de mida reduïda, que ha de pesar exactament…
Una peça d'enginyeria de titani pesa $4,5 \text{ kg}$. Es fabricarà una peça geomètricament semblant però de mida reduïda, que ha de pesar exactament $500 \text{ grames}$. Si la peça original té una longitud màxima de $30 \text{ cm}$, quina serà la longitud màxima de la nova peça reduïda?
Una empresa fabrica llaunes cilíndriques semblants. La llauna A requereix $150 \text{ cm}^2$ de llauna per a la seva fabricació i conté $300 \text{ ml}$ de suc. Si la…
Una empresa fabrica llaunes cilíndriques semblants. La llauna A requereix $150 \text{ cm}^2$ de llauna per a la seva fabricació i conté $300 \text{ ml}$ de suc. Si la llauna B requereix $540 \text{ cm}^2$ de llauna per ser fabricada, quants mil·litres de suc conté?
Laboratori de geometria dinàmica: transformar i comprovar
Un disseny de rajoles ha de repetir un motiu sense deformar-lo. Amb GeoGebra o una altra aplicació de geometria dinàmica, construeix el triangle $A(1,1)$, $B(4,1)$, $C(1,3)$ i mesura costats, perímetre i àrea. La seva base mesura $3$, la seva alçada $2$ i la seva àrea $3$ unitats quadrades.
-
Defineix el vector $(3,1)$ i fes servir l'eina de translació sobre el triangle complet. Comprova $A'(4,2)$, $B'(7,2)$, $C'(4,4)$. Prediu quines mesures es conservaran abans de consultar l'aplicació.
-
Sobre el triangle original, aplica un gir de 90° antihorari amb centre $O(0,0)$. Has d'obtenir $(-1,1)$, $(-1,4)$, $(-3,1)$. Comprova les distàncies al centre i les longituds.
-
Reflecteix l'original respecte a l'eix X amb l'eina de simetria axial: $(1,-1)$, $(4,-1)$, $(1,-3)$. Es conserven longituds, angles i àrea, però s'inverteix l'orientació.
-
Aplica a l'original una homotècia de raó 2 i centre O: $(2,2)$, $(8,2)$, $(2,6)$. Les longituds i el perímetre es dupliquen; l'àrea passa de $3$ a $12$. Això és semblança, no una isometria.
-
Arrossega C fins a $(1,4)$, deixant A i B fixos. Les imatges s'han d'actualitzar automàticament. L'àrea original ara és $4{,}5$ i l'ampliada $18$. Comprova que les tres isometries mantenen la nova àrea. Si les imatges no es mouen, havies dibuixat còpies independents: reconstrueix la transformació vinculada a l'original.
L'esquema mostra una translació: tots els vèrtexs es desplacen pel mateix vector.
Conjectura i justificació: les isometries conserven distàncies. La comprovació amb diversos dibuixos aporta evidència, però no demostra tots els casos. En una translació, les diferències entre coordenades no canvien: $(x_2+u)-(x_1+u)=x_2-x_1$ i el mateix amb Y; per això la fórmula de la distància en conserva el valor. En una homotècia de raó positiva k, aquestes diferències es multipliquen per k i les distàncies també.
Crea i depura instruccions: escriu un procediment per transformar qualsevol punt $P(x,y)$. Traslladar: $(x+3,y+1)$; girar 90° antihorari sobre O: $(-y,x)$; reflectir en X: $(x,-y)$. Un company proposa $(y,x)$ per al gir: prova-ho amb $(1,0)$ i $(0,1)$ i explica per què el segon cas revela l'error. Modifica l'algorisme per a un gir horari, $(y,-x)$, i comprova'l amb tots dos punts.
Cooperació: una persona construeix, una altra mesura i una altra busca contraexemples; rotueu. Si una conjectura falla, deseu el cas i expliqueu quina condició faltava. Escolteu totes les propostes i distribuïu l'ús de l'eina sense atribuir habilitats al gènere. Per resoldre un desacord, acordeu un cas de prova. Si et bloqueges, identifica la transformació i assaja-la amb un sol punt abans de tornar al triangle.
Matemàtiques, aportacions i reconeixement
Busca en una font científica o educativa una aportació d'una matemàtica a la geometria, la simetria o les seves aplicacions. Anota el seu nom, el problema que va estudiar i la font; explica la idea amb les teves paraules i relaciona-la amb el laboratori. Compareu quins noms coneixíeu abans i quins no: la visibilitat històrica no demostra diferències de capacitat per gènere. Incorporeu les aportacions de totes les persones de l'equip a la presentació.