Creixement, màxims i mínims
Un velocista no corre sempre igual de ràpid: hi ha trams on accelera més i trams on accelera menys. La taxa de variació mitjana és l'eina per comparar, amb un nombre, com de ràpid canvia una funció en diferents trams.
Taxa de variació mitjana
Calcula la taxa de variació mitjana de la funció $f(x) = 4x - 7$ en els intervals $[-2, 1]$ i $[1, 5]$. A la vista dels resultats, quina relació existeix entre la taxa…
Calcula la taxa de variació mitjana de la funció $f(x) = 4x - 7$ en els intervals $[-2, 1]$ i $[1, 5]$. A la vista dels resultats, quina relació existeix entre la taxa de variació mitjana i el pendent d'una funció afí?
Donada la funció quadràtica $g(x) = x^2 - 6x + 8$, troba la seva taxa de variació mitjana en l'interval $[2, 4]$. Què indica el resultat obtingut sobre el valor de la…
Donada la funció quadràtica $g(x) = x^2 - 6x + 8$, troba la seva taxa de variació mitjana en l'interval $[2, 4]$. Què indica el resultat obtingut sobre el valor de la funció en els extrems de l'interval?
La temperatura $T$ (en $^\circ\text{C}$) d'un pacient des que ingressa a urgències ve donada per la fórmula $T(t) = 38,5 + 0,2t - 0,1t^2$, on $t$ és el temps…
La temperatura $T$ (en $^\circ\text{C}$) d'un pacient des que ingressa a urgències ve donada per la fórmula $T(t) = 38,5 + 0,2t - 0,1t^2$, on $t$ és el temps transcorregut en hores. Calcula la taxa de variació mitjana de la temperatura en les dues primeres hores ($t \in [0, 2]$).
Tres formes de mesurar el canvi
Un dipòsit conté $40$ litres en el minut $2$ i $60$ en el minut $6$:
| Mesura | Càlcul | Interpretació |
|---|---|---|
| Variació absoluta | $60-40=20$ L | Quant ha augmentat |
| Variació relativa | $(60-40)/40=0{,}5=50\,\%$ | Augment respecte al valor inicial, que ha de ser no nul |
| Taxa de variació mitjana | $(60-40)/(6-2)=5$ L/min | Canvi per unitat de temps |
En una gràfica, localitza els dos punts i dibuixa el segment que els uneix. El seu pendent és $5$, però això no demostra que cada minut entressin cinc litres. Introdueix al graficador les funcions $y=5x+30$ i $y=40+1{,}25(x-2)^2$, restringeix l'observació a $[2,6]$ i comprova que comparteixen els extrems i la TVM encara que canvien de manera diferent entre ells.
Si parteixes de zero litres, la variació absoluta i la TVM continuen tenint sentit, però el percentatge d'augment respecte de zero no està definit.
Creixement i decreixement
Sense necessitat de representar-la gràficament, determina els intervals de creixement i decreixement de la funció quadràtica $f(x) = 2x^2 + 8x - 3$.
Sense necessitat de representar-la gràficament, determina els intervals de creixement i decreixement de la funció quadràtica $f(x) = 2x^2 + 8x - 3$.
Si sabem que la taxa de variació mitjana d'una funció contínua en l'interval $[1, 4]$ és negativa, podem assegurar amb total certesa que la funció és estrictament…
Si sabem que la taxa de variació mitjana d'una funció contínua en l'interval $[1, 4]$ és negativa, podem assegurar amb total certesa que la funció és estrictament decreixent en tot aquest interval? Raona la teva resposta de forma teòrica o mitjançant un exemple gràfic.
Un projectil es llança verticalment cap amunt de manera que la seva altura en metres ve donada per la funció $h(t) = -5t^2 + 40t + 10$, on $t$ és el temps en segons.…
Un projectil es llança verticalment cap amunt de manera que la seva altura en metres ve donada per la funció $h(t) = -5t^2 + 40t + 10$, on $t$ és el temps en segons. Calcula la taxa de variació mitjana de l'altura en els intervals $[0, 2]$ i $[6, 8]$. Interpreta físicament el significat i el signe dels resultats obtinguts.
El cost mitjà de producció de $x$ decàmetres d'un cable especial ve donat per la funció $C(x) = \frac{400}{x} + 5x$ (en euros). Calcula la taxa de variació mitjana del…
El cost mitjà de producció de $x$ decàmetres d'un cable especial ve donat per la funció $C(x) = \frac{400}{x} + 5x$ (en euros). Calcula la taxa de variació mitjana del cost entre $x = 10$ i $x = 20$. El cost mitjà creix o decreix en aquest interval de producció?
Màxims i mínims
En una paràbola $y = ax^2+bx+c$, amb $a\ne0$ i domini $\mathbb R$, el vèrtex és el seu únic extrem: màxim absolut si $a<0$ (obre cap avall), mínim absolut si $a>0$ (obre cap amunt). La seva abscissa és $xv = -\dfrac{b}{2a}$.
Observa la gràfica de la funció $f(x)$ i determina els seus intervals de creixement i decreixement. Escriu també les coordenades dels seus màxims i mínims relatius.
Observa la gràfica de la funció $f(x)$ i determina els seus intervals de creixement i decreixement. Escriu també les coordenades dels seus màxims i mínims relatius.
La taula següent mostra els beneficis diaris (en centenars d'euros) d'un petit comerç durant una setmana: | Dia | L | M | X | J | V | S | D | Identifica en quins dies…
La taula següent mostra els beneficis diaris (en centenars d'euros) d'un petit comerç durant una setmana:
| Dia | L | M | X | J | V | S | D |
Identifica en quins dies s'assoleixen els màxims i mínims relatius dels beneficis durant aquesta setmana, justificant la teva resposta basant-te en el creixement i decreixement.
Troba les coordenades del vèrtex de la paràbola d'equació $y = -3x^2 + 12x - 5$. Indica si aquest vèrtex correspon a un màxim o a un mínim absolut de la funció.
Troba les coordenades del vèrtex de la paràbola d'equació $y = -3x^2 + 12x - 5$. Indica si aquest vèrtex correspon a un màxim o a un mínim absolut de la funció.
La gràfica adjunta mostra la concentració d'un medicament en la sang d'un pacient (en mg/L) en funció del temps transcorregut (en hores) des de la seva administració.…
La gràfica adjunta mostra la concentració d'un medicament en la sang d'un pacient (en mg/L) en funció del temps transcorregut (en hores) des de la seva administració. Determina els intervals on la concentració augmenta i disminueix, i indica el moment en què s'assoleix la concentració màxima i el seu valor aproximat.
Optimització: trobar el millor valor
Una fàbrica de bicicletes estima que els seus beneficis mensuals, en milers d'euros, segueixen la funció $B(x) = -0,5x^2 + 50x - 200$, on $x$ és la quantitat de…
Una fàbrica de bicicletes estima que els seus beneficis mensuals, en milers d'euros, segueixen la funció $B(x) = -0,5x^2 + 50x - 200$, on $x$ és la quantitat de bicicletes produïdes en desenes d'unitats. Quantes bicicletes han de fabricar per obtenir el màxim benefici possible? A quant ascendirà aquest benefici?
Troba els valors dels paràmetres $a$ i $b$ perquè la funció quadràtica $f(x) = ax^2 + bx + 3$ assoleixi un màxim relatiu en el punt $(2, 11)$.
Troba els valors dels paràmetres $a$ i $b$ perquè la funció quadràtica $f(x) = ax^2 + bx + 3$ assoleixi un màxim relatiu en el punt $(2, 11)$.
Un agricultor disposa de $240$ metres de tanca per a tancar un camp rectangular que linda amb un riu recte. Si el costat que dóna al riu no necessita ser tancat,…
Un agricultor disposa de $240$ metres de tanca per a tancar un camp rectangular que linda amb un riu recte. Si el costat que dóna al riu no necessita ser tancat, expressa l'àrea del camp en funció de la seva amplada $x$. Quines han de ser les dimensions del camp perquè l'àrea tancada sigui la màxima possible?
Una companyia d'autobusos cobra $30$ euros per bitllet i, a aquest preu, aconsegueix vendre $400$ bitllets diaris. Un estudi de mercat indica que per cada euro que…
Una companyia d'autobusos cobra $30$ euros per bitllet i, a aquest preu, aconsegueix vendre $400$ bitllets diaris. Un estudi de mercat indica que per cada euro que augmenti el preu del bitllet, es vendran $10$ bitllets menys. Expressa els ingressos diaris de la companyia en funció de l'increment del preu en euros, $x$. Quin preu del bitllet maximitza els ingressos i quants bitllets es vendran a aquest preu?