Factor comú
Quan una aplicació d'edició redueix una foto, no recalcula cada píxel pel seu compte: aplica el mateix factor d'escala a tots alhora. Treure factor comú és aquesta mateixa idea en àlgebra: trobar què tenen en comú tots els termes per escriure'ls com un únic producte.
Factor comú d'un monomi
És la propietat distributiva a l'inrevés: si tots els termes comparteixen un factor, es treu fora multiplicant un parèntesi.
$$12x^4 - 18x^3 + 6x^2 = 6x^2\,(2x^2 - 3x + 1)$$El factor comú es construeix en dos passos independents: el numèric (el m.c.d. dels coeficients) i el literal (cada lletra que apareix en tots els termes, elevada a l'exponent més petit amb què apareix).
Extreu el màxim factor comú possible del polinomi $P(x) = 12x^4 - 18x^3 + 6x^2$.
Extreu el màxim factor comú possible del polinomi $P(x) = 12x^4 - 18x^3 + 6x^2$.
Treu factor comú en la següent expressió algebraica amb dues variables: $15x^3y^2 - 20x^2y^3 + 5x^2y^2$.
Treu factor comú en la següent expressió algebraica amb dues variables: $15x^3y^2 - 20x^2y^3 + 5x^2y^2$.
Un alumne ha extret factor comú en l'expressió $4x^3 - 8x^2 + 4x$ donant com a resultat $4x(x^2 - 2x)$. Identifica l'error comès i escriu el resultat correcte de la…
Un alumne ha extret factor comú en l'expressió $4x^3 - 8x^2 + 4x$ donant com a resultat $4x(x^2 - 2x)$. Identifica l'error comès i escriu el resultat correcte de la factorització.
Factor comú amb diverses variables i tres termes
La idea no canvia amb més lletres: cada variable aporta al factor comú l'exponent més petit amb què apareix en tots els termes, encara que n'hi hagi tres o més.
Treu factor comú en la següent expressió amb tres variables: $7a^2bc - 14ab^2c + 21abc^2$.
Treu factor comú en la següent expressió amb tres variables: $7a^2bc - 14ab^2c + 21abc^2$.
Extreu factor comú en l'expressió $M(x, y) = 18x^2y^4 - 24x^3y^3 + 30x^4y^2$.
Extreu factor comú en l'expressió $M(x, y) = 18x^2y^4 - 24x^3y^3 + 30x^4y^2$.
Expressa el polinomi $R(t) = 16t^5 - 24t^4 + 32t^3$ treient el màxim factor comú possible.
Expressa el polinomi $R(t) = 16t^5 - 24t^4 + 32t^3$ treient el màxim factor comú possible.
Factor comú amb un parèntesi repetit
De vegades el factor comú no és un monomi, sinó un parèntesi sencer que es repeteix en diversos termes. Es tracta exactament igual: surt fora multiplicant.
$$x(x-3)^2 - 4(x-3)^2 + x^2(x-3)^2 = (x-3)^2\,(x - 4 + x^2)$$Extreu el factor comú en l'expressió $E(x) = x(x-3)^2 - 4(x-3)^2 + x^2(x-3)^2$.
Extreu el factor comú en l'expressió $E(x) = x(x-3)^2 - 4(x-3)^2 + x^2(x-3)^2$.
Factor comú per agrupació
Si un polinomi de quatre termes no té cap factor comú a tots ells, de vegades es pot agrupar en parelles, treure el factor comú de cada parella per separat, i descobrir que el que queda entre parèntesis és igual en les dues: aquest parèntesi esdevé el nou factor comú.
Realitza una doble extracció de factor comú (factorització per agrupació) en el polinomi $P(x, y) = x^3 - 2x^2y + 3x - 6y$.
Realitza una doble extracció de factor comú (factorització per agrupació) en el polinomi $P(x, y) = x^3 - 2x^2y + 3x - 6y$.
Factoritza la següent expressió extreient factor comú per agrupació de termes: $5a^2b + 15a^2 - 2b - 6$.
Factoritza la següent expressió extreient factor comú per agrupació de termes: $5a^2b + 15a^2 - 2b - 6$.
Factoritza per agrupació de termes el polinomi de tres variables $Q(a, b, c) = a^2b - a^2c + ab^2 - ac^2 - b^2c + bc^2$. Agrupa en parelles i cerca un factor comú…
Factoritza per agrupació de termes el polinomi de tres variables $Q(a, b, c) = a^2b - a^2c + ab^2 - ac^2 - b^2c + bc^2$. Agrupa en parelles i cerca un factor comú binomial.
Factoritzar del tot: factor comú + identitats notables
Factoritzar «completament» vol dir continuar traient factors fins que ja no es pugui més: primer el factor comú, i si el que queda dins del parèntesi és una identitat notable, també es factoritza.
Treu factor comú en el polinomi $P(x) = 5x^3 - 30x^2 + 45x$ i comprova si el factor de segon grau resultant és una identitat notable. Escriu la factorització completa.
Treu factor comú en el polinomi $P(x) = 5x^3 - 30x^2 + 45x$ i comprova si el factor de segon grau resultant és una identitat notable. Escriu la factorització completa.
El volum d'un prisma rectangular recte ve donat pel polinomi $V(x) = 3x^3 + 12x^2 + 12x$. Extreu factor comú i aplica les identitats notables per expressar el volum com…
El volum d'un prisma rectangular recte ve donat pel polinomi $V(x) = 3x^3 + 12x^2 + 12x$. Extreu factor comú i aplica les identitats notables per expressar el volum com el producte de tres polinomis de primer grau que representen les dimensions del prisma.
Factoritza completament el polinomi $P(x) = x^{n+3} - 4x^{n+2} + 4x^{n+1}$ extreient primer el factor comú adequat, assumint que $n$ és un nombre natural.
Factoritza completament el polinomi $P(x) = x^{n+3} - 4x^{n+2} + 4x^{n+1}$ extreient primer el factor comú adequat, assumint que $n$ és un nombre natural.
Per a què serveix: arrels i fraccions algebraiques
Factoritzar no és un exercici aïllat: és l'eina que faràs servir de seguida per a dues coses molt diferents. Per trobar els valors de $x$ que fan que un polinomi sigui $0$: si $P(x) = 5x(x-3)^2$, n'hi ha prou de veure quin factor s'anul·la, sense necessitat de fórmules complicades. I per simplificar fraccions algebraiques: només es pot cancel·lar el que apareix com a factor complet en el numerador i el denominador, mai un terme solt dins d'una suma.
Això vol dir que els apartats d'arrels d'un polinomi i de fraccions algebraiques que vénen després depenen directament que sàpigues treure factor comú sense dubtar: com més automàtic ho tinguis ara, menys feina tindràs allà.
En un circuit elèctric, la potència dissipada per tres resistències en sèrie s'expressa com $P(I) = 12I^3 - 18I^2 + 6I$. Extreu el factor comú i troba els valors…
En un circuit elèctric, la potència dissipada per tres resistències en sèrie s'expressa com $P(I) = 12I^3 - 18I^2 + 6I$. Extreu el factor comú i troba els valors d'intensitat $I$ per als quals la potència és nul·la.
Un arquitecte dissenya una estructura el pes suportat de la qual en funció d'una variable estructural $x$ és $W(x) = \frac{1}{2}x^4 - 2x^3 + 2x^2$. Extreu factor comú i…
Un arquitecte dissenya una estructura el pes suportat de la qual en funció d'una variable estructural $x$ és $W(x) = \frac{1}{2}x^4 - 2x^3 + 2x^2$. Extreu factor comú i factoritza completament el polinomi. Per a quins valors de $x > 0$ l'estructura no suporta cap pes?