Funció quadràtica (paràbola)
Una pilota llançada cap a una cistella, el raig d'una font o el cable d'un pont penjant dibuixen la mateixa corba: una paràbola. A diferència de les rectes que ja coneixes, aquí $x$ apareix elevada al quadrat, i això ho canvia tot: la gràfica té un punt més alt o més baix, i no creix (ni decreix) sempre igual.
La paràbola i el seu vèrtex
Determina les coordenades del vèrtex, l'equació de l'eix de simetria i el sentit de les branques de la paràbola $f(x) = 2x^2 - 8x + 5$.
Determina les coordenades del vèrtex, l'equació de l'eix de simetria i el sentit de les branques de la paràbola $f(x) = 2x^2 - 8x + 5$.
Calcula el valor del coeficient $c$ perquè la paràbola d'equació $y = x^2 - 6x + c$ passi pel punt $P(2, -3)$.
Calcula el valor del coeficient $c$ perquè la paràbola d'equació $y = x^2 - 6x + c$ passi pel punt $P(2, -3)$.
Punts de tall amb els eixos
Igual que en qualsevol funció: amb l'eix $Y$ es calcula $f(0)$ (sempre n'hi ha un). Amb l'eix $X$ es resol l'equació $ax^2+bx+c=0$; pot haver-hi dos, un o cap tall, segons el signe del discriminant.
Calcula els punts de tall amb els eixos de coordenades de la funció quadràtica $y = -x^2 + x + 6$.
Calcula els punts de tall amb els eixos de coordenades de la funció quadràtica $y = -x^2 + x + 6$.
Calcula la taxa de variació mitjana de la funció $f(x) = x^2 - 4x$ en els intervals $[1, 3]$ i $[3, 5]$. Què indiquen els signes obtinguts sobre el creixement de la…
Calcula la taxa de variació mitjana de la funció $f(x) = x^2 - 4x$ en els intervals $[1, 3]$ i $[3, 5]$. Què indiquen els signes obtinguts sobre el creixement de la funció en aquests intervals?
Domini, recorregut i creixement
El domini de qualsevol funció quadràtica és $\mathbb{R}$: no hi ha cap $x$ prohibida. El recorregut depèn del vèrtex i de cap on s'obren les branques.
Determina el domini i el recorregut de la funció $f(x) = -3x^2 + 12x - 1$.
Determina el domini i el recorregut de la funció $f(x) = -3x^2 + 12x - 1$.
Indica els intervals de creixement i decreixement de la funció $f(x) = \frac{1}{2}x^2 + 3x - 2$.
Indica els intervals de creixement i decreixement de la funció $f(x) = \frac{1}{2}x^2 + 3x - 2$.
Translacions de la paràbola
Observa la gràfica de la paràbola següent, que és una traslació de $y = x^2$. Escriu la seva expressió algebraica en la forma $f(x) = (x - h)^2 + k$ i desenvolupa-la per…
Observa la gràfica de la paràbola següent, que és una traslació de $y = x^2$. Escriu la seva expressió algebraica en la forma $f(x) = (x - h)^2 + k$ i desenvolupa-la per expressar-la com un polinomi de segon grau.
Escriu l'equació de la paràbola que s'obté en desplaçar la gràfica de $y = -2x^2$ tres unitats cap a la dreta i cinc unitats cap amunt.
Escriu l'equació de la paràbola que s'obté en desplaçar la gràfica de $y = -2x^2$ tres unitats cap a la dreta i cinc unitats cap amunt.
Troba l'equació de la paràbola en la forma $y = ax^2 + bx + c$ sabent que el seu vèrtex és el punt $V(-1, 4)$ i que talla l'eix d'ordenades a $y = 2$.
Troba l'equació de la paràbola en la forma $y = ax^2 + bx + c$ sabent que el seu vèrtex és el punt $V(-1, 4)$ i que talla l'eix d'ordenades a $y = 2$.
Trajectòries i optimització
Molts fenòmens físics (llançaments, caiguda d'objectes) i problemes de «màxim benefici» o «àrea màxima» es modelitzen amb una paràbola: la resposta és gairebé sempre al seu vèrtex.
El llançament d'una javelina segueix una trajectòria parabòlica donada per la funció $h(x) = -0,05x^2 + 2x + 1,5$, on $x$ és la distància horitzontal en metres des del…
El llançament d'una javelina segueix una trajectòria parabòlica donada per la funció $h(x) = -0,05x^2 + 2x + 1,5$, on $x$ és la distància horitzontal en metres des del llançador i $h(x)$ és l'altura en metres. Quina és l'altura màxima que aconsegueix la javelina? A quina distància del llançador toca terra?
Determina analíticament els punts d'intersecció entre la paràbola $f(x) = x^2 - 5x + 4$ i la recta $g(x) = -x + 1$.
Determina analíticament els punts d'intersecció entre la paràbola $f(x) = x^2 - 5x + 4$ i la recta $g(x) = -x + 1$.
Un agricultor disposa de $120\text{ m}$ de tanca per tancar un camp rectangular adjacent a un riu recte. Si no necessita posar tanca al costat del riu, quines han de ser…
Un agricultor disposa de $120\text{ m}$ de tanca per tancar un camp rectangular adjacent a un riu recte. Si no necessita posar tanca al costat del riu, quines han de ser les dimensions del camp perquè la seva àrea sigui màxima? Quina és aquesta àrea màxima?
L'esquema il·lustra la disposició del camp i del riu:
Es vol inscriure un rectangle en un triangle isosceles de base $8\text{ cm}$ i altura $6\text{ cm}$, recolzant un dels costats del rectangle sobre la base del triangle.…
Es vol inscriure un rectangle en un triangle isosceles de base $8\text{ cm}$ i altura $6\text{ cm}$, recolzant un dels costats del rectangle sobre la base del triangle. Expressa l'àrea del rectangle en funció de la meitat de la seva base, $x$, i determina les dimensions del rectangle d'àrea màxima.