Distribucions condicionades

Donada la taula de doble entrada següent que relaciona les variables $X$ i $Y$:

Escriu la taula de freqüències de la distribució de la variable $Y$ condicionada a $X = 10$ i calcula la mida d'aquesta subpoblació.

En un estudi sobre dues variables $X$ i $Y$, s'ha aïllat la distribució de $Y$ condicionada a un valor específic $x_i$, i s'han obtingut les freqüències absolutes següents:

Calcula les freqüències relatives condicionades $h_{j|i}$ per a cada valor de $Y$ i comprova que sumen $1$.

S'analitza el nombre de faltes d'ortografia ($Y$) en un dictat segons el curs ($X$). S'extreuen les dues distribucions condicionades per a $X=3$ i $X=4$:

Distribució $Y | X=3$:

Valors $y_j$: $0, 1, 2, 3$

Freqüències: $2, 5, 2, 1$

Distribució $Y | X=4$:

Valors $y_j$: $0, 1, 2, 3$

Freqüències: $5, 3, 2, 0$

Calcula la mitjana de faltes a cada curs ($\bar{y}_{|x=3}$ i $\bar{y}_{|x=4}$) i indica en quin curs es cometen, de mitjana, menys faltes.

En un estudi de nutrició es relaciona el contingut de carbohidrats en grams ($X$) i el contingut de proteïnes en grams ($Y$) de diverses barretes energètiques. Els resultats s'agrupen en la taula següent:

Calcula la mitjana i la desviació típica del contingut de proteïnes per a aquelles barretes que tenen exactament $30\text{ g}$ de carbohidrats (distribució $Y|X=30$).

Es fa una enquesta en un centre escolar preguntant el gènere ($X$: $1=\text{Noi}$, $2=\text{Noia}$) i la xarxa social preferida ($Y$: $1=\text{TikTok}$, $2=\text{Instagram}$, $3=\text{BeReal}$).

Calcula les distribucions de freqüències relatives condicionades $Y|X=1$ i $Y|X=2$. A la vista dels resultats, són independents el gènere i la xarxa social preferida en aquesta mostra?

Demostra numèricament una propietat fonamental de la independència estadística. Donada la taula següent on $X$ i $Y$ són independents (les seves freqüències relatives conjuntes són el producte de les marginals):

Calcula la mitjana marginal $\bar{y}$ i les mitjanes condicionades $\bar{y}_{|x=1}$ i $\bar{y}_{|x=2}$. Comprova que, en ser independents, es compleix la igualtat $\bar{y} = \bar{y}_{|x=1} = \bar{y}_{|x=2}$.

En un hospital es prova un tractament nou. La variable $X$ indica el tractament ($0=\text{Estàndard}$, $1=\text{Nou}$) i la variable $Y$ indica el resultat ($0=\text{No curat}$, $1=\text{Curat}$). Els pacients es divideixen en dos grups de risc, i formen dues distribucions condicionades:

Grup de Risc Baix:

Tractament Estàndard: $10$ curats de $50$ pacients.

Tractament Nou: $2$ curats de $10$ pacients.

Grup de Risc Alt:

Tractament Estàndard: $6$ curats de $10$ pacients.

Tractament Nou: $25$ curats de $50$ pacients.

Calcula el percentatge de curació (que equival a la mitjana $\bar{y}$) per a cada tractament dins de cada grup de risc. Després, agrupa tots els pacients i calcula el percentatge de curació global per a cada tractament. Quin tractament sembla millor en els grups separats i quin sembla millor globalment? (Aquest fenomen es coneix com la Paradoxa de Simpson).