Ja saps què són el sinus, el cosinus i la tangent. Ara toca fer-los servir per al que de debò importa: esbrinar mesures que no pots prendre directament, com l'alçada d'un edifici, l'amplada d'un riu o la inclinació d'una rampa.
«Resoldre» un triangle rectangle vol dir calcular tots els seus costats i tots els seus angles. Com que ja és rectangle, n'hi ha prou de conèixer dues dades més (dos costats, o un costat i un angle agut) per trobar la resta.
Practica★☆☆Sense començar
Resol un triangle rectangle en què un catet mesura $7$ cm i el seu angle oposat és $40^\circ$.
Resol un triangle rectangle en què un catet mesura $7$ cm i el seu angle oposat és $40^\circ$.
L'angle d'elevació és el que forma la visual cap a un punt alt amb l'horitzontal. És l'eina clàssica per mesurar l'alçada d'alguna cosa sense pujar-hi: un edifici, un arbre, una torre.
Practica★☆☆Sense començar
Des d'un punt del terra situat a $10$ m del peu d'un arbre se'n veu la copa amb un angle d'elevació de $30^\circ$. Quant fa l'arbre d'alçària?
Des d'un punt del terra situat a $10$ m del peu d'un arbre se'n veu la copa amb un angle d'elevació de $30^\circ$.
Una xemeneia de $30$ m d'altura s'observa des d'un punt del sòl situat a $45$ m de la seva base. Amb quin angle d'elevació es veu el seu extrem superior?
Una xemeneia de $30$ m d'altura s'observa des d'un punt del sòl situat a $45$ m de la seva base. Amb quin angle d'elevació es veu el seu extrem superior?
Profundització: L'angle de depressió: mirant cap avall
Quan mires cap avall des d'un punt alt (un penya-segat, un far, un avió) fins a un objecte que és a terra, l'angle que forma la teva visual amb l'horitzontal s'anomena angle de depressió. Per geometria (són angles alterns entre paral·leles), l'angle de depressió des de dalt és igual a l'angle d'elevació vist des de baix.
Practica★★☆Sense començar
Des de dalt d'un penya-segat de $60$ m es divisa una boia amb un angle de depressió de $25^\circ$, com mostra la figura. a) A quina distància del peu del penya-segat…
Des de dalt d'un penya-segat de $60$ m es divisa una boia amb un angle de depressió de $25^\circ$, com mostra la figura.
a) A quina distància del peu del penya-segat està la boia? b) A quina distància de l'observador?
Des de dalt d'un far de $45$ m s'observen dos vaixells alineats amb el far: el més pròxim amb un angle de depressió de $32^\circ$ i el més llunyà amb $20^\circ$, com…
Des de dalt d'un far de $45$ m s'observen dos vaixells alineats amb el far: el més pròxim amb un angle de depressió de $32^\circ$ i el més llunyà amb $20^\circ$, com mostra la figura.
Profundització: Distàncies i amplades inaccessibles
Quan no pots mesurar una distància directament (l'amplada d'un riu, l'alçada d'una torre sense accés a la seva base), una estratègia molt potent és prendre dues mesures des de dos punts diferents i combinar la informació.
Practica★★☆Sense començar
Per mesurar l'amplada d'un riu et col·loques davant d'un arbre de l'altra riba i camines $30$ m per la teva riba. Des d'allà, l'arbre es veu formant un angle de…
Per mesurar l'amplada d'un riu et col·loques davant d'un arbre de l'altra riba i camines $30$ m per la teva riba. Des d'allà, l'arbre es veu formant un angle de $55^\circ$ amb la riba, com mostra la figura.
Des de cert punt d'una vall, el cim d'una muntanya es veu amb un angle d'elevació de $35^\circ$. Reculant $250$ m en línia recta, el cim es veu amb un angle de…
Des de cert punt d'una vall, el cim d'una muntanya es veu amb un angle d'elevació de $35^\circ$. Reculant $250$ m en línia recta, el cim es veu amb un angle de $22^\circ$, com es mostra en la figura.
a) Planteja un sistema de dues equacions utilitzant la tangent en cadascun dels dos triangles rectangles. b) Resol el sistema. c) Quina és l'altura de la muntanya sobre el nivell de l'observador?
Un grup d'alumnes vol mesurar l'amplada d'un llac sense creuar-lo. Davant d'una boia $B$ situada a la riba oposada marquen un punt $P$ a la seva riba; des de $P$ avancen…
Un grup d'alumnes vol mesurar l'amplada d'un llac sense creuar-lo. Davant d'una boia $B$ situada a la riba oposada marquen un punt $P$ a la seva riba; des de $P$ avancen $60$ m per la riba en direcció perpendicular fins a un punt $Q$, i des de $Q$ mesuren l'angle $\widehat{PQB} = 48^\circ$. a) Fes un esquema de la situació. b) Calcula l'amplada del llac. c) Si es construís una passarel·la recta de $P$ a $B$ amb un $5\ \%$ de longitud addicional pels suports, quina longitud tindria la passarel·la?
Pots fer-ho en paper i enviar una foto amb la teva resposta.
Rampes, tobogans, teulades i colls de muntanya es descriuen amb el seu angle d'inclinació i la seva longitud: dues dades d'un triangle rectangle on la hipotenusa és la rampa, la base és el recorregut horitzontal i l'alçada és el desnivell. Alguns problemes combinen dos triangles alhora.
Practica★★☆Sense començar
El tobogan d'un parc aquàtic té una rampa de $18$ m que forma un angle de $25^\circ$ amb el sòl, com es mostra en la figura. a) Quina altura té la plataforma de sortida?…
El tobogan d'un parc aquàtic té una rampa de $18$ m que forma un angle de $25^\circ$ amb el sòl, com es mostra en la figura.
a) Quina altura té la plataforma de sortida? b) Quina distància horitzontal ocupa el tobogan?
La rampa d'un skatepark té una inclinació de $18^\circ$ i una longitud de $6$ m, com es mostra en la figura. a) Quin desnivell salva la rampa? b) Quin és el seu pendent…
La rampa d'un skatepark té una inclinació de $18^\circ$ i una longitud de $6$ m, com es mostra en la figura.
a) Quin desnivell salva la rampa? b) Quin és el seu pendent expressat en percentatge?
Una tirolina uneix dues torres de $22$ m i $14$ m d'altura separades $60$ m en horitzontal, com mostra la figura. a) Quin desnivell hi ha entre les dues sortides? b)…
Una tirolina uneix dues torres de $22$ m i $14$ m d'altura separades $60$ m en horitzontal, com mostra la figura.
a) Quin desnivell hi ha entre les dues sortides? b) Quina longitud té el cable, suposant-lo tens i recte? c) Amb quin angle de descens es llisca l'usuari?