Exercicis: Raons trigonomètriques en el triangle rectangle

Observa el triangle rectangle de la figura.

1. a) Escriu, com a fracció, les raons $\sen\ \alpha$, $\cos\ \alpha$ i $\tg\ \alpha$ de l'angle marcat. b) Escriu aquestes mateixes raons per a l'altre angle agut. Quina relació observes entre les unes i les altres?

En el triangle rectangle de la figura els catets mesuren $6$ cm i $8$ cm.

1. a) Calcula la hipotenusa. b) Troba les tres raons trigonomètriques de l'angle $\beta$ marcat.

En un triangle rectangle, la hipotenusa mesura $13$ cm i el catet oposat a l'angle $\alpha$ mesura $5$ cm. a) Calcula l'altre catet. b) Troba $\sen\ \alpha$, $\cos\ \alpha$ i $\tg\ \alpha$.

Els angles aguts d'un triangle rectangle mesuren $35^\circ$ i $55^\circ$. Sabent que $\sen\ 35^\circ \approx 0{,}574$, esbrina sense calculadora quant val $\cos\ 55^\circ$ i justifica-ho fent servir la definició de les raons trigonomètriques.

En el triangle de la figura la hipotenusa mesura $10$ cm i l'angle $\alpha$ mesura $30^\circ$.

Calcula la longitud del catet oposat a $\alpha$. (Dada: $\sen\ 30^\circ = 0{,}5$.)

En un triangle rectangle, el catet adjacent a un angle de $60^\circ$ mesura $8$ m. Calcula la hipotenusa. (Dada: $\cos\ 60^\circ = 0{,}5$.)

Els dos catets d'un triangle rectangle mesuren $4$ cm cadascun. a) Quant val la tangent de cadascun dels angles aguts? b) Quant mesuren aquests angles? Justifica-ho sense calculadora.

Valora si són certes o falses aquestes afirmacions sobre un angle agut $\alpha$: a) «El sinus de $\alpha$ pot ser més gran que $1$». b) «La tangent de $\alpha$ pot ser més gran que $1$». Justifica totes dues respostes a partir de la definició de les raons en el triangle rectangle i posa un exemple en el cas afirmatiu.

En una classe de 4t d'ESO, en Lucas ha de calcular les raons trigonomètriques de l'angle d'inclinació $\alpha$ d'una rampa que puja $1{,}5\text{ m}$ d'alçària i té una base horitzontal a terra de $4\text{ m}$. En Lucas escriu a la seva llibreta:

«$\sen\ \alpha = \frac{1{,}5}{4} = 0{,}375$».

1. a) Explica amb les teves paraules quin error conceptual ha comès en Lucas en identificar els costats del triangle rectangle. Quina raó trigonomètrica ha calculat realment en lloc del senus?
2. b) Sense calcular l'angle amb la calculadora, raona per què el valor real de $\sen\ \alpha$ ha de ser obligatòriament menor que $0{,}375$, basant-te en la relació de mida entre la hipotenusa i el catet contigu.
3. c) Calcula la longitud exacta de la hipotenusa fent servir el teorema de Pitàgores i troba el valor corregit de $\sen\ \alpha$ arrondonit a tres xifres decimals.

La normativa espanyola d'accessibilitat en edificis públics (Codi Tècnic de l'Edificació, CTE) estableix que les rampes curtes per a persones en cadira de rodes han de tenir un pendent màxim del $10\,\%$, la qual cosa equival a dir que la tangent de l'angle d'inclinació no pot superar el valor $\tg\ \alpha \le 0{,}10$.

A l'entrada d'una biblioteca municipal es vol salvar un graó de $18\text{ cm}$ d'alçària ($0{,}18\text{ m}$) disposant d'una distància horitzontal a la vorera de $2\text{ metres}$.

1. a) Identifica els catets oposat i adjacent del triangle rectangle que modelitza la rampa, calcula la tangent de l'angle de pujada $\alpha$ i determina si la rampa compleix la normativa del CTE.
2. b) Un membre de l'equip proposa instal·lar una rampa estàndard que forma un angle d'inclinació notable de $30^\circ$, pensant que «en ser un angle de només $30^\circ$, la pujada serà molt suau». Consulta la taula de raons d'angles notables (pren $\sqrt{3} \approx 1{,}732$) per calcular $\tg\ 30^\circ$ i argumenta per què aquesta proposta suposaria un incompliment greu de l'accessibilitat.

D'un angle agut $\alpha$ es sap que $\sen\ \alpha = 0{,}6$. Calcula $\cos\ \alpha$ i $\tg\ \alpha$ fent servir les relacions fonamentals.

Si $\tg\ \alpha = 2$ i $\alpha$ és agut, calcula $\sen\ \alpha$ i $\cos\ \alpha$.

1. a) Observa el panell A de la figura, on un triangle equilàter de costat $2$ s'ha dividit per una alçada, i dedueix els valors exactes de $\sen 30^\circ$, $\cos 30^\circ$ i $\tg 30^\circ$.

1. b) Observa el panell B, on un quadrat de costat $1$ s'ha dividit per una diagonal, i dedueix les raons trigonomètriques de $45^\circ$ ($\sen 45^\circ$, $\cos 45^\circ$ i $\tg 45^\circ$).

1. c) Amb l'anterior i les relacions entre angles complementaris, completa la taula següent amb les raons de $30^\circ$, $45^\circ$ i $60^\circ$:

Sabent que $\cos\ \alpha = \frac{1}{3}$ i que $\alpha$ és agut, troba els valors exactes de $\sen\ \alpha$ i $\tg\ \alpha$, expressats amb radicals.

Una escala de $5$ m es recolza en una paret formant un angle de $65^\circ$ amb el sòl, com es mostra en la figura.

1. a) Quina altura arriba l'escala a la paret? b) A quina distància de la paret està el seu peu?

Un estel vola subjectat per un fil tens de $40$ m que forma un angle de $50^\circ$ amb el sòl, com mostra la figura.

Si les mans de la persona que el subjecta estan a $1{,}5$ m del sòl, a quina altura vola l'estel?

Una rampa d'accés salva un desnivell de $0{,}8$ m amb un recorregut horitzontal de $6$ m, com es mostra en la figura.

1. a) Quin angle forma la rampa amb el sòl? b) Quin és el seu pendent expressat en percentatge? c) La normativa d'accessibilitat recomana que aquestes rampes no superin el $10\ \%$ de pendent: la compleix aquesta rampa?

Un alumne escriu: «com que $\sen\ \alpha = 0{,}9$, aleshores $\cos\ \alpha = 1 - 0{,}9 = 0{,}1$». Explica quina relació ha confós, corregeix l'error i calcula el valor correcte de $\cos\ \alpha$.

En un taller de disseny industrial cal fabricar una peça de suport metàl·lica amb forma de triangle rectangle. No se'n coneixen les longituds dels costats, però el plec de condicions tècniques exigeix que el cosinus de l'angle agut $\alpha$ sigui exactament el quàdruple del seu senus, és a dir, $\cos\ \alpha = 4 \cdot \sen\ \alpha$.

1. a) A partir de la definició $\tg\ \alpha = \frac{\sen\ \alpha}{\cos\ \alpha}$, dedueix el valor exacte de la tangent de $\alpha$ en forma de fracció irreductible.
2. b) Sabent que la tangent és el quocient entre el catet oposat i el contigu, dedueix quin és el catet més curt. Si el disseny final exigeix que aquest catet més curt mesuri exactament $6\text{ cm}$, determina quant ha de mesurar l'altre catet i calcula la mesura de la hipotenusa (arrondonida a dos decimals).
3. c) Amb les mesures dels costats que has determinat, calcula els valors de $\sen\ \alpha$ i $\cos\ \alpha$ i comprova numèricament que es compleix la relació fonamental $\sen^2\alpha + \cos^2\alpha = 1$.

A la xarxa de carreteres de l'Estat a Espanya, un senyal de perill de la DGT adverteix d'una forta baixada amb un pendent del $10\,\%$, la qual cosa significa tècnicament que $\tg\ \alpha = 0{,}10$. Un vehicle recorre en aquest tram exactament $1\,000\text{ metres}$ mesurats sobre l'asfalt (és a dir, al llarg de la hipotenusa del triangle rectangle).

1. a) ESTIMA: Abans de fer cap càlcul trigonomètric, estima a simple vista si el desnivell vertical que descendeix el cotxe estarà més a prop de $10\text{ m}$, de $100\text{ m}$ o de $500\text{ m}$. Explica de manera intuïtiva per què descartes les altres dues opcions basant-te en el que significa una inclinació del $10\,\%$.
2. b) COMPROVA: Per calcular el desnivell vertical real ($h$) necessites el catet oposat a partir de la hipotenusa, la qual cosa requereix conèixer $\sen\ \alpha$. Sabent que per a aquest angle el cosinus val aproximadament $\cos\ \alpha \approx 0{,}995$, utilitza la relació $\tg\ \alpha = \frac{\sen\ \alpha}{\cos\ \alpha}$ per calcular $\sen\ \alpha$ i troba els metres exactes de desnivell que descendeix el cotxe.
3. c) Compara el teu resultat amb els $100\text{ metres}$ que donaria un càlcul ràpid estimant el $10\,\%$ directament sobre la distància recorreguda. És raonable que en la conducció habitual es confongui la distància sobre l'asfalt amb la distància horitzontal? Raona la teva resposta a partir de l'error obtingut.

1. a) Desenvolupa $(\sen\ \alpha + \cos\ \alpha)^2$ i utilitza la relació fonamental per demostrar que $(\sen\ \alpha + \cos\ \alpha)^2 = 1 + 2 \cdot \sen\ \alpha \cdot \cos\ \alpha$. b) Si per a un cert angle agut es compleix que $\sen\ \alpha + \cos\ \alpha = 1{,}3$, calcula el valor de $\sen\ \alpha \cdot \cos\ \alpha$ sense trobar l'angle.

Sabent que $\tg\ \alpha = \frac{3}{2}$, calcula el valor de $\frac{\sen\ \alpha + \cos\ \alpha}{\sen\ \alpha - \cos\ \alpha}$ sense calcular l'angle. (Pista: divideix el numerador i el denominador entre $\cos\ \alpha$.)

En una carretera de muntanya hi ha un senyal que adverteix d'un pendent del $12\ \%$, com el de la figura.

1. a) Explica què significa aquest $12\ \%$ en termes de desnivell i de distància horitzontal. b) Quin angle forma la carretera amb la horitzontal? c) Si un ciclista recorre $250$ m per aquesta carretera, mesurats sobre l'asfalt, quin desnivell ha pujat?

Un triangle té dos costats de $8$ cm i $12$ cm que formen un angle de $50^\circ$. a) Calcula l'altura sobre el costat de $12$ cm fent servir el sinus de $50^\circ$. b) Calcula l'àrea del triangle. c) Generalitza: escriu una fórmula per a l'àrea d'un triangle coneguts dos costats $a$ i $b$ i l'angle comprès $\gamma$.

Un pal de $3{,}2$ m projecta una ombra de $4{,}5$ m sobre el sòl, com es mostra en la figura.

1. a) Amb quin angle d'elevació es veu el Sol en aquest moment? b) A aquesta mateixa hora, quina longitud tindrà l'ombra d'un edifici de $18$ m?

En un triangle rectangle, el catet adjacent a l'angle $\beta$ mesura $8$ cm i $\cos\ \beta = 0{,}8$. a) Calcula la hipotenusa. b) Calcula el perímetre del triangle. c) Calcula la seva àrea.

Sigui un triangle rectangle d'angles aguts $\alpha$ i $\beta$. a) Comprova amb el triangle de catets $5$ cm i $12$ cm que $\sen^2\ \alpha + \sen^2\ \beta = 1$. b) Demostra que aquesta igualtat es compleix sempre, utilitzant que $\alpha + \beta = 90^\circ$ i les relacions entre les raons d'angles complementaris.

Calcula sense calculadora, fent servir la taula d'angles notables: a) $\sen^2\ 30^\circ + \cos^2\ 60^\circ + \tg\ 45^\circ$. b) $\frac{\sen\ 60^\circ}{\cos\ 30^\circ} + \tg^2\ 30^\circ$.

Per calcular les raons trigonomètriques restants d'un angle agut quan se'n coneix una, hi ha dos procediments habituals:

• Mètode A (Algebric): Aplicar directament les fórmules fonamentals $\sen^2\alpha + \cos^2\alpha = 1$ i $\tg\ \alpha = \frac{\sen\ \alpha}{\cos\ \alpha}$.

• Mètode B (Geomètric): Interpretar la raó coneguda com el quocient de dos costats en un triangle rectangle auxiliar, trobar el tercer costat mitjançant el teorema de Pitàgores i deduir les altres raons.

Es plantegen dues situacions:

• Situació 1: Se sap que $\cos\ \alpha = 0{,}6$.

• Situació 2: Se sap que $\tg\ \beta = \frac{5}{12}$.

1. a) Resol la Situació 1 utilitzant el Mètode A per trobar $\sen\ \alpha$ i $\tg\ \alpha$.
2. b) Resol la Situació 2 utilitzant el Mètode B per trobar $\sen\ \beta$ i $\cos\ \beta$.
3. c) TRIA EL MÈTODE: Intenta plantejar la Situació 2 mitjançant el Mètode A i explica quina complicació algebraica apareix en aïllar. Justifica de manera raonada quin dels dos mètodes resulta molt més eficient i segur quan la dada inicial és la tangent en lloc del senus o el cosinus.

Seguint els criteris tècnics de l'IDAE (Institut per a la Diversificació i Estalvi de l'Energia) a Espanya, les plaques solars instal·lades sobre cobertes planes s'han de separar per evitar que una fila projecti ombra sobre la següent en el moment més crític de l'any: el migdia del solstici d'hivern.

En una nau industrial a Toledo s'instal·len files de panells solars l'estructura inclinada dels quals (la hipotenusa del triangle que formen) mesura $2\text{ metres}$ de longitud. Cada panell es munta amb una inclinació fixa respecte a terra de $30^\circ$.

1. a) Utilitzant els valors dels angles notables (sense calculadora), calcula l'alçària vertical exacta que assoleix la part superior del panell sobre la coberta i la distància horitzontal que ocupa la seva base a terra.
2. b) Al migdia del solstici d'hivern en aquesta ubicació, els rajos del sol incideixen formant un angle d'elevació de $30^\circ$ amb el terra horitzontal. Si l'ombra que projecta el panell cap enrere té com a catet oposat l'alçària vertical del panell calculada en l'apartat anterior, calcula la longitud d'aquesta ombra sobre el terra (pren $\sqrt{3} \approx 1{,}73\text{ m}$).
3. c) La distància mínima de separació entre la base d'una fila i la base de la següent ha de ser igual a la base del panell més la longitud de l'ombra projectada. Si la coberta disposa d'un fons total de $15\text{ metres}$ de nord a sud per ubicar panells, justifica raonadament quin és el nombre màxim de files completes que es poden col·locar sense que cap pateixi pèrdues per ombres.