Població i mostra
Una cadena de televisió demana als seus espectadors que truquin per dir qui guanyarà un referèndum, rep $100\,000$ trucades i s'equivoca estrepitosament. Com pot fallar tant amb una mostra tan enorme? Perquè la mida no ho és tot: com tries a qui preguntes importa més que a quants.
Població, mostra i individu
Una fàbrica de components electrònics produeix un lot de $5000$ resistències. Per comprovar la seva qualitat, el departament de control selecciona i analitza $150$…
Una fàbrica de components electrònics produeix un lot de $5000$ resistències. Per comprovar la seva qualitat, el departament de control selecciona i analitza $150$ resistències. Identifica la població, la mostra, l'individu i la mida de la mostra en aquest estudi estadístic.
En un municipi de $24000$ habitants es vol realitzar un estudi sobre els hàbits de lectura. Per fer-ho, s'entrevista $800$ ciutadans. Determina quina és la població…
En un municipi de $24000$ habitants es vol realitzar un estudi sobre els hàbits de lectura. Per fer-ho, s'entrevista $800$ ciutadans. Determina quina és la població d'estudi, quina és la mostra i quina és la mida mostral.
Tipus de variable
| Tipus | Valors | Exemples |
|---|---|---|
| Qualitativa nominal | Categories sense ordre | Marca de mòbil, color de cabell |
| Qualitativa ordinal | Categories amb ordre | Nivell de risc (baix/mitjà/alt), talla (S/M/L) |
| Quantitativa discreta | Nombres que es compten | Nombre de germans, de llunes d'un planeta |
| Quantitativa contínua | Nombres que es mesuren | Massa, longitud, temps |
Classifica les variables estadístiques següents en qualitatives, quantitatives discretes o quantitatives contínues: El color del pelatge d'una espècie de guineu. El…
Classifica les variables estadístiques següents en qualitatives, quantitatives discretes o quantitatives contínues:
-
El color del pelatge d'una espècie de guineu.
-
El nombre de satèl·lits naturals dels planetes del sistema solar.
-
La massa en quilograms dels enviaments postals d'una empresa de paqueteria.
-
La marca dels ordinadors d'una aula d'informàtica.
En un estudi d'ecologia marina es registren les característiques següents d'una població de dofins: a) Espècie a la qual pertany. b) Longitud del cos en metres. c)…
En un estudi d'ecologia marina es registren les característiques següents d'una població de dofins:
- a) Espècie a la qual pertany.
- b) Longitud del cos en metres.
- c) Nombre de cries que ha tingut al llarg de la seva vida.
- d) Nivell de risc d'extinció (Baix, Vulnerable, En perill).
Classifica detalladament cada variable estadística. En el cas de les variables qualitatives, indica expressament si són ordinals o nominals.
Mostratge aleatori i estratificat
Si la població es divideix de manera natural en grups (estrats) que poden comportar-se de manera diferent —cursos d'un institut, departaments d'una empresa—, convé que la mostra respecti aquestes proporcions: és el mostratge estratificat amb afixació proporcional.
En un centre d'educació secundària hi ha $120$ alumnes a 1r d'ESO, $100$ a 2n d'ESO, $90$ a 3r d'ESO i $50$ a 4t d'ESO. Es vol extreure una mostra de $72$ alumnes…
En un centre d'educació secundària hi ha $120$ alumnes a 1r d'ESO, $100$ a 2n d'ESO, $90$ a 3r d'ESO i $50$ a 4t d'ESO. Es vol extreure una mostra de $72$ alumnes mitjançant un mostratge aleatori estratificat amb afixació proporcional. Calcula quants alumnes de 3r d'ESO han de formar part de la mostra.
Una granja avícola té tres naus amb gallines ponedores: la nau A té $4500$ gallines, la nau B en té $3000$ i la nau C en té $2500$. Es vol extreure una mostra de $200$…
Una granja avícola té tres naus amb gallines ponedores: la nau A té $4500$ gallines, la nau B en té $3000$ i la nau C en té $2500$. Es vol extreure una mostra de $200$ gallines utilitzant un mostratge estratificat amb afixació proporcional. Determina la mida de la mostra que correspon a cadascuna de les tres naus.
Mostratge sistemàtic
Una altra manera de triar sense biaix: ordenes la població (per exemple, numerant-la de l'$1$ al $N$) i selecciones un de cada $k$ individus, començant per una posició triada a l'atzar.
En una cadena de muntatge s'han fabricat $1200$ telèfons mòbils en un dia. Es vol fer un control de qualitat seleccionant una mostra de $40$ telèfons mitjançant un…
En una cadena de muntatge s'han fabricat $1200$ telèfons mòbils en un dia. Es vol fer un control de qualitat seleccionant una mostra de $40$ telèfons mitjançant un mostratge sistemàtic. Si el primer telèfon seleccionat a l'atzar és el que ocupa la posició $14$, determina el coeficient d'elevació, i les posicions dels tres primers i del darrer telèfon seleccionat a la mostra.
Una base de dades conté els registres de $N = 2520$ clients. Es vol extreure una mostra de mida $n = 45$ mitjançant un mostratge sistemàtic. L'arrencada aleatòria…
Una base de dades conté els registres de $N = 2520$ clients. Es vol extreure una mostra de mida $n = 45$ mitjançant un mostratge sistemàtic. L'arrencada aleatòria determina que el primer client seleccionat és el que ocupa la posició $a = 23$.
Troba una expressió algebraica general per a la posició de l'individu $i$-èsim de la mostra (per a $1 \le i \le 45$) i determina quina posició a la base de dades ocupa el client que va ser seleccionat en el lloc número $32$ de la mostra.
Mostres esbiaixades
La mida de la mostra no n'hi ha prou: si el mètode de selecció afavoreix un grup, el resultat està esbiaixat, per gran que sigui $n$.
L'ajuntament d'una ciutat vol conèixer l'opinió dels ciutadans sobre la construcció d'un nou carril bici al centre. Per fer-ho, un enquestador es situa a la porta d'una…
L'ajuntament d'una ciutat vol conèixer l'opinió dels ciutadans sobre la construcció d'un nou carril bici al centre. Per fer-ho, un enquestador es situa a la porta d'una botiga de bicicletes i entrevista $150$ persones que en surten. Analitza si la mostra seleccionada és representativa de la població de la ciutat i explica quin tipus de biaix es comet en el disseny de l'estudi.
Es vol estimar el temps mitjà d'ús diari de xarxes socials per part dels adolescents de tota una comunitat autònoma. Per fer-ho, es selecciona aleatòriament $200$…
Es vol estimar el temps mitjà d'ús diari de xarxes socials per part dels adolescents de tota una comunitat autònoma. Per fer-ho, es selecciona aleatòriament $200$ alumnes d'un institut privat situat al barri de més poder adquisitiu de la capital. Justifica per què aquesta mostra no és representativa de la població i proposa un mètode de mostratge més adequat.
Una cadena de televisió nacional vol predir el resultat d'un referèndum legislatiu important. Per fer-ho, durant un programa de debat en horari de màxima audiència,…
Una cadena de televisió nacional vol predir el resultat d'un referèndum legislatiu important. Per fer-ho, durant un programa de debat en horari de màxima audiència, demana als espectadors que trugin a un número de telèfon de pagament o enviïn un SMS per votar per la seva opció preferida. Es reben més de $100000$ respostes.
Identifica i explica com a mínim tres fonts de biaix (errors sistemàtics) en aquest disseny de mostratge i raona per què, tot i la mida enorme de la mostra, els resultats probablement no seran representatius de la població general.
Torna al principi: La televisió va fallar perquè el mostratge va tenir biaix d'autoselecció i de cobertura: només van trucar espectadors mobilitzats que veien aquell canal concret, i això demostra que $100\,000$ respostes voluntàries representen pitjor la societat que una mostra aleatòria ben dissenyada.