Razones trigonométricas en el triángulo rectángulo
¿Cómo se mide la altura de un edificio sin subir a él, o la pendiente de una rampa sin ponerle una regla? La respuesta está en los triángulos rectángulos: basta con un ángulo y un lado para conocerlo todo. Esta es la primera vez que ves esta herramienta, así que vamos despacio.
De triángulos semejantes a una razón constante
Dibuja varios triángulos rectángulos con el mismo ángulo agudo $\alpha$ pero de tamaños distintos. Todos son semejantes (mismos ángulos), así que los cocientes entre sus lados correspondientes son siempre el mismo número, por grande o pequeño que sea el triángulo.
Observa el triángulo rectángulo de la figura. a) Escribe, como fracción, las razones $\sen\ \alpha$, $\cos\ \alpha$ y $\tg\ \alpha$ del ángulo marcado. b) Escribe esas…
Observa el triángulo rectángulo de la figura.
- a) Escribe, como fracción, las razones $\sen\ \alpha$, $\cos\ \alpha$ y $\tg\ \alpha$ del ángulo marcado. b) Escribe esas mismas razones para el otro ángulo agudo. ¿Qué relación observas entre unas y otras?
Seno, coseno y tangente
En un triángulo rectángulo, fija un ángulo agudo $\alpha$. Cada lado tiene un nombre según su posición respecto a $\alpha$: la hipotenusa, el cateto opuesto (el que no toca a $\alpha$) y el cateto adyacente (el que sí lo toca, sin ser la hipotenusa).
En el triángulo rectángulo de la figura los catetos miden $6$ cm y $8$ cm. a) Calcula la hipotenusa. b) Halla las tres razones trigonométricas del ángulo $\beta$ marcado.
En el triángulo rectángulo de la figura los catetos miden $6$ cm y $8$ cm.
- a) Calcula la hipotenusa. b) Halla las tres razones trigonométricas del ángulo $\beta$ marcado.
En el triángulo de la figura la hipotenusa mide $10$ cm y el ángulo $\alpha$ mide $30^\circ$. Calcula la longitud del cateto opuesto a $\alpha$. (Dato:…
En el triángulo de la figura la hipotenusa mide $10$ cm y el ángulo $\alpha$ mide $30^\circ$.
Calcula la longitud del cateto opuesto a $\alpha$. (Dato: $\sen\ 30^\circ = 0{,}5$.)
Los dos catetos de un triángulo rectángulo miden $4$ cm cada uno. a) ¿Cuánto vale la tangente de cada uno de los ángulos agudos? b) ¿Cuánto miden esos ángulos?…
Los dos catetos de un triángulo rectángulo miden $4$ cm cada uno. a) ¿Cuánto vale la tangente de cada uno de los ángulos agudos? b) ¿Cuánto miden esos ángulos? Justifícalo sin calculadora.
Profundización: Las relaciones fundamentales
Como el seno y el coseno vienen del mismo triángulo rectángulo, no son independientes: están ligados por Pitágoras.
Estas relaciones permiten calcular las tres razones conociendo solo una, sin medir ningún lado.
Valora si son verdaderas o falsas estas afirmaciones sobre un ángulo agudo $\alpha$: a) «El seno de $\alpha$ puede ser mayor que $1$». b) «La tangente de $\alpha$ puede…
Valora si son verdaderas o falsas estas afirmaciones sobre un ángulo agudo $\alpha$: a) «El seno de $\alpha$ puede ser mayor que $1$». b) «La tangente de $\alpha$ puede ser mayor que $1$». Justifica ambas respuestas a partir de la definición de las razones en el triángulo rectángulo y pon un ejemplo en el caso afirmativo.
De un ángulo agudo $\alpha$ se sabe que $\sen\ \alpha = 0{,}6$. Calcula $\cos\ \alpha$ y $\tg\ \alpha$ usando las relaciones fundamentales.
De un ángulo agudo $\alpha$ se sabe que $\sen\ \alpha = 0{,}6$. Calcula $\cos\ \alpha$ y $\tg\ \alpha$ usando las relaciones fundamentales.
Si $\tg\ \alpha = 2$ y $\alpha$ es agudo, calcula $\sen\ \alpha$ y $\cos\ \alpha$.
Si $\tg\ \alpha = 2$ y $\alpha$ es agudo, calcula $\sen\ \alpha$ y $\cos\ \alpha$.
Profundización: Ángulos notables: 30°, 45° y 60°
Hay tres ángulos cuyas razones se pueden calcular exactamente, sin calculadora, a partir de figuras muy sencillas.
Los ángulos agudos de un triángulo rectángulo miden $35^\circ$ y $55^\circ$. Sabiendo que $\sen\ 35^\circ \approx 0{,}574$, averigua sin calculadora cuánto vale…
Los ángulos agudos de un triángulo rectángulo miden $35^\circ$ y $55^\circ$. Sabiendo que $\sen\ 35^\circ \approx 0{,}574$, averigua sin calculadora cuánto vale $\cos\ 55^\circ$ y justifícalo usando la definición de las razones trigonométricas.
a) Observa el panel A de la figura, donde un triángulo equilátero de lado $2$ se ha dividido por una altura, y deduce los valores exactos de $\sen\ 30^\circ$,…
- a) Observa el panel A de la figura, donde un triángulo equilátero de lado $2$ se ha dividido por una altura, y deduce los valores exactos de $\sen\ 30^\circ$, $\cos\ 30^\circ$ y $\tg\ 30^\circ$. b) Observa el panel B, donde un cuadrado de lado $1$ se ha dividido por una diagonal, y deduce las razones de $45^\circ$. c) Con lo anterior y las relaciones entre ángulos complementarios, completa la tabla con las razones de $30^\circ$, $45^\circ$ y $60^\circ$.
Calcula sin calculadora, usando la tabla de ángulos notables: a) $\sen^2\ 30^\circ + \cos^2\ 60^\circ + \tg\ 45^\circ$. b)…
Calcula sin calculadora, usando la tabla de ángulos notables: a) $\sen^2\ 30^\circ + \cos^2\ 60^\circ + \tg\ 45^\circ$. b) $\frac{\sen\ 60^\circ}{\cos\ 30^\circ} + \tg^2\ 30^\circ$.