Identitats notables
Si edites un vídeo i retalles un quadrat de $b$ píxels en una cantonada d'un fotograma quadrat de costat $a$, l'àrea que et queda no és simplement $a^2 - b^2$ per casualitat: és una identitat notable treballant per a tu.
Les tres identitats
Ja les vas veure a 3r d'ESO. Convé tenir-les memoritzades perquè apareixen tot el temps en simplificar i factoritzar.
Mou $a$ i $b$ i observa com es reparteix l'àrea del quadrat gran entre les tres peces:
Desenvolupa el quadrat de la suma següent utilitzant la identitat notable corresponent: $(4x + 7)^2$.
Desenvolupa el quadrat de la suma següent utilitzant la identitat notable corresponent: $(4x + 7)^2$.
Desenvolupa el quadrat de la diferència següent aplicant la identitat notable adequada: $(5a^2 - 2b)^2$.
Desenvolupa el quadrat de la diferència següent aplicant la identitat notable adequada: $(5a^2 - 2b)^2$.
Quadrat d'una diferència i suma per diferència
El quadrat d'una diferència es veu igual que el d'una suma, però cal retornar el quadradet que es resta dues vegades. La suma per diferència, en canvi, sempre dona una resta de quadrats, sense terme central.
Calcula el producte de la suma per la diferència per a la següent expressió: $(3m^3 + 8n)(3m^3 - 8n)$.
Calcula el producte de la suma per la diferència per a la següent expressió: $(3m^3 + 8n)(3m^3 - 8n)$.
Aplica les identitats notables per calcular mentalment el valor exacte de $53^2$ utilitzant l'expressió $(50 + 3)^2$.
Aplica les identitats notables per calcular mentalment el valor exacte de $53^2$ utilitzant l'expressió $(50 + 3)^2$.
Usar-les al revés: factoritzar
Si reconeixes la «forma» d'una identitat en un polinomi ja desenvolupat, pots desfer el camí i escriure'l com a producte. És la mateixa idea que faràs servir després amb el factor comú, però aquí el patró és sempre un d'aquests tres:
Factoritza el trinomi quadrat perfecte següent expressant-lo com el quadrat d'un binomi: $x^2 + 14x + 49$.
Factoritza el trinomi quadrat perfecte següent expressant-lo com el quadrat d'un binomi: $x^2 + 14x + 49$.
Expressa el polinomi següent com el quadrat d'una diferència: $25y^2 - 60y + 36$.
Expressa el polinomi següent com el quadrat d'una diferència: $25y^2 - 60y + 36$.
Factoritza la diferència de quadrats següent: $81z^2 - 100w^6$.
Factoritza la diferència de quadrats següent: $81z^2 - 100w^6$.
Aplicacions: càlcul mental i geometria
Les identitats no són només un exercici d'àlgebra: serveixen per calcular més ràpid i per modelar àrees amb una part que varia.
En geometria, per exemple, l'àrea transitable d'una plaça quadrada de costat $3x+5$ amb una font quadrada de costat $x-2$ en una cantonada és una resta de quadrats:
Un arquitecte dissenya una plaça quadrada de costat $3x + 5$ metres. Al seu interior, hi col·loca una font també quadrada de costat $x - 2$ metres. Obtén el polinomi…
Un arquitecte dissenya una plaça quadrada de costat $3x + 5$ metres. Al seu interior, hi col·loca una font també quadrada de costat $x - 2$ metres. Obtén el polinomi ordenat i reduït que representa l'àrea de la zona transitable de la plaça.
Simplifica al màxim l'expressió combinada següent reduint els termes semblants: $(2x + 5)^2 - (2x - 5)^2$.
Simplifica al màxim l'expressió combinada següent reduint els termes semblants: $(2x + 5)^2 - (2x - 5)^2$.
Factoritza completament el polinomi $16x^4 - 81y^4$, aplicant la identitat de la suma per la diferència tantes vegades com sigui possible en el conjunt dels nombres…
Factoritza completament el polinomi $16x^4 - 81y^4$, aplicant la identitat de la suma per la diferència tantes vegades com sigui possible en el conjunt dels nombres reals.
Torna al principi: En retallar una cantonada quadrada de costat $b$ a un fotograma de costat $a$, l'àrea restant és $a^2 - b^2$, que gràcies a la suma per diferència es pot descompondre en un rectangle de costats $(a + b)$ i $(a - b)$.