Funcions contínues. Discontinuïtats

Una funció definida a trossos ve donada per l'expressió següent:

$f(x) = \begin{cases} 2x + 3 & \text{si } x < 1 \\ 4 & \text{si } x \ge 1 \end{cases}$

Calcula el valor de la funció en $x=1$ i els límits laterals quan $x$ tendeix a 1. És contínua la funció en aquest punt? Si no ho és, classifica la discontinuïtat.

Observa la gràfica següent de la funció $f(x)$ i determina en quins punts del seu domini presenta alguna discontinuïtat. Classifica cadascuna d'elles indicant si es tracta d'una discontinuïtat evitable, de salt finit o de salt infinit.

Observa la gràfica de la funció $g(x)$ i respon a les qüestions següents:

1. Determina el domini de la funció.

2. Identifica els punts de discontinuïtat i classifica'ls.

3. Escriu el valor dels límits laterals en $x = -1$ i en $x = 3$.

Donada la funció racional $f(x) = \frac{3x-1}{x+5}$, indica el seu domini de definició i el punt en què presenta una discontinuïtat. De quin tipus de discontinuïtat es tracta? Justifica la teva resposta estudiant el comportament de la funció al voltant d'aquest punt.

Considera la funció $f(x) = \frac{x^2-16}{x-4}$.

Calcula el valor de la funció en $x=4$ si és possible. A continuació, simplifica l'expressió algebraica i calcula el límit quan $x$ tendeix a 4. Quin tipus de discontinuïtat presenta la funció en $x=4$?

Troba els punts de discontinuïtat de la funció $f(x) = \frac{x+2}{x^2-3x-10}$ i indica de quin tipus és cadascuna, analitzant si el numerador s'anul·la o no en aquests punts.

Donada la funció $f(x) = \frac{x^2-x-2}{x^2-1}$, determina el seu domini de definició. Estudia analíticament el tipus de discontinuïtat que presenta en $x=1$ i en $x=-1$ calculant els límits laterals corresponents.

En un aparcament de bicicletes d'una ciutat, la tarifa és de 2 € per la primera hora o fracció, i 1,50 € per cada hora o fracció addicional. Si representem la funció que relaciona el temps d'estacionament continu (en hores) amb el preu a pagar (en euros), quin tipus de discontinuïtat presentarà la gràfica en els valors enters del temps ($t=1, 2, 3\dots$)?

Estudia la continuïtat en $x=0$ de la funció següent:

$f(x) = \begin{cases} -x^2 & \text{si } x \le 0 \\ \frac{1}{x} & \text{si } x > 0 \end{cases}$

Classifica la discontinuïtat existent en aquest punt.

Calcula el valor que ha de tenir el paràmetre $k$ perquè la funció següent sigui contínua en tot el seu domini:

$f(x) = \begin{cases} x^2 - 3x + k & \text{si } x \le 2 \\ 5x - 7 & \text{si } x > 2 \end{cases}$

Una companyia elèctrica ofereix una tarifa per a pimes: es paguen 15 € fixos més 0,12 € per cada kWh consumit, fins a un màxim de 100 kWh. Si el consum supera els 100 kWh, la tarifa canvia i es cobra a 0,10 € TOTS els kWh consumits (eliminant el cost fix de 15 €).

Escriu la funció a trossos que determina el cost total en funció dels kWh consumits. És contínua la funció en un consum exacte de 100 kWh? Si no ho és, indica el tipus de discontinuïtat i el "salt" en el preu.