Teorema del residu
Imagina que la teva app d'entrenament calcula quantes calories portes cremades amb una fórmula polinòmica i vols saber el resultat d'aquí a dues hores exactes, sense haver de reconstruir tota la taula de valors anteriors. El teorema del residu fa justament això amb els polinomis: et dona el residu d'una divisió sense dividir, amb una sola substitució.
El teorema del residu
Troba el residu de la divisió del polinomi $P(x) = 3x^4 - 2x^3 + 5x - 7$ entre $x - 2$ sense efectuar la divisió.
Troba el residu de la divisió del polinomi $P(x) = 3x^4 - 2x^3 + 5x - 7$ entre $x - 2$ sense efectuar la divisió.
Calcula el residu de dividir $U(x) = \frac{1}{2}x^3 - x^2 + 3x - \frac{5}{2}$ entre $x - 2$ sense realitzar la divisió per la regla de Ruffini.
Calcula el residu de dividir $U(x) = \frac{1}{2}x^3 - x^2 + 3x - \frac{5}{2}$ entre $x - 2$ sense realitzar la divisió per la regla de Ruffini.
Residus amb $x + a$: compte amb el signe
Dividir entre $x + a$ és dividir entre $x - (-a)$, així que el valor que substitueixes no és $a$, sinó $-a$.
Calcula el residu de dividir el polinomi $S(x) = -x^5 + 3x^2 - 4$ entre $x + 1$ aplicant el teorema del residu.
Calcula el residu de dividir el polinomi $S(x) = -x^5 + 3x^2 - 4$ entre $x + 1$ aplicant el teorema del residu.
Troba el residu de la divisió de $V(x) = 4x^6 - 3x^4 + 2x^2 - 1$ entre $x + 1$ avaluant el polinomi en el valor adequat.
Troba el residu de la divisió de $V(x) = 4x^6 - 3x^4 + 2x^2 - 1$ entre $x + 1$ avaluant el polinomi en el valor adequat.
Residu zero: la connexió amb les arrels
El cas més important del teorema és quan el residu és exactament $0$.
Determina, utilitzant el teorema del residu, si el polinomi $R(x) = 2x^3 - 5x^2 + x + 2$ és divisible entre $x - 2$.
Determina, utilitzant el teorema del residu, si el polinomi $R(x) = 2x^3 - 5x^2 + x + 2$ és divisible entre $x - 2$.
Comprova mitjançant el teorema del residu si $x = -2$ és una arrel del polinomi $T(x) = x^4 + 3x^3 - 2x^2 + 12$.
Comprova mitjançant el teorema del residu si $x = -2$ és una arrel del polinomi $T(x) = x^4 + 3x^3 - 2x^2 + 12$.
Trobar un paràmetre per a un residu concret
Quan un polinomi té una lletra desconeguda (un paràmetre) i et diuen quin residu ha de donar en dividir-lo entre $(x-a)$, el teorema converteix el problema en una equació senzilla: substitueix, iguala el resultat al residu demanat i aïlla.
Calcula el valor del paràmetre $k$ perquè el residu de dividir el polinomi $P(x) = x^3 - kx^2 + 5x - 2$ entre $x - 3$ sigui igual a $10$.
Calcula el valor del paràmetre $k$ perquè el residu de dividir el polinomi $P(x) = x^3 - kx^2 + 5x - 2$ entre $x - 3$ sigui igual a $10$.
Troba el valor de $a$ perquè el polinomi $Q(x) = 2x^4 + ax^3 - 3x^2 + 5x - a$ sigui divisible entre $x + 2$.
Troba el valor de $a$ perquè el polinomi $Q(x) = 2x^4 + ax^3 - 3x^2 + 5x - a$ sigui divisible entre $x + 2$.
Determina el valor de $b$ sabent que en dividir el polinomi $R(x) = 3x^3 + bx^2 - 2x + 4$ entre $x - 1$ s'obté el mateix residu que en dividir-lo entre $x + 2$.
Determina el valor de $b$ sabent que en dividir el polinomi $R(x) = 3x^3 + bx^2 - 2x + 4$ entre $x - 1$ s'obté el mateix residu que en dividir-lo entre $x + 2$.
Diverses condicions alhora
Alguns problemes donen dues o més condicions sobre residus, amb dos paràmetres desconeguts: cada condició es tradueix en una equació, i es resol el sistema.
Els ingressos diaris d'una botiga, en centenars d'euros, s'aproximen mitjançant el polinomi $I(x) = -x^3 + 12x^2 - 20x + c$, on $x$ és el nombre de dies transcorreguts.…
Els ingressos diaris d'una botiga, en centenars d'euros, s'aproximen mitjançant el polinomi $I(x) = -x^3 + 12x^2 - 20x + c$, on $x$ és el nombre de dies transcorreguts. Si el residu de dividir $I(x)$ entre $x - 5$ és $80$, troba el valor del terme independent $c$ usant el teorema del residu.
El disseny del perfil de la carroceria d'un cotxe esportiu es modela matemàticament mitjançant un polinomi $D(x) = x^4 + ax^3 + bx^2 - 4x + 4$. Per garantir…
El disseny del perfil de la carroceria d'un cotxe esportiu es modela matemàticament mitjançant un polinomi $D(x) = x^4 + ax^3 + bx^2 - 4x + 4$. Per garantir l'aerodinàmica òptima, el polinomi ha de ser divisible entre $x - 2$ i deixar un residu de $15$ en ser dividit entre $x + 1$. Planteja un sistema d'equacions utilitzant el teorema del residu i calcula els valors de $a$ i $b$.
Torna al principi: Per saber quantes calories portes cremades a les dues hores exactes sense refer la taula, n'hi ha prou amb calcular el valor numèric substituint $x = 2$ a la fórmula polinòmica de l'app.