Dos estudiants tenen la mateixa nota mitjana en matemàtiques: un $6{,}5$. Un treu sempre notes semblants ($6, 7, 6, 7$); l'altre alterna excel·lents i suspesos ($3, 10, 3, 10$). La mitjana no distingeix aquestes dues situacions tan diferents: necessites una mesura de quant s'allunyen les dades de la seva mitjana.
Una primera idea senzilla és el rang (màxim menys mínim), però només mira els dos extrems i ignora la resta de les dades. Per fer-les servir totes, es mesura la distància de cada dada a la mitjana, $x_i - \bar{x}$, i es fa la mitjana d'aquestes distàncies.
Practica★☆☆Sense començar
Dos estudiants tenen les notes següents en l'assignatura de matemàtiques: Estudiant A: $6, 7, 6, 8, 7$ Estudiant B: $4, 9, 5, 10, 6$ Sense necessitat de fer càlculs…
Dos estudiants tenen les notes següents en l'assignatura de matemàtiques:
Estudiant A: $6, 7, 6, 8, 7$
Estudiant B: $4, 9, 5, 10, 6$
Sense necessitat de fer càlculs complexos, quin dels dos estudiants creus que té una desviació típica més gran? Confirma la teva resposta calculant la desviació típica de tots dos.
Amb dades agrupades en intervals es fan servir les marques de classe $x_i$ i les seves freqüències: $\sigma^2\approx\sum f_i(x_i-\bar x)^2/N$. És una estimació de la variància original, perquè no coneixem cada dada; no s'ha de confondre amb la variància exacta d'una taula de valors individuals amb freqüències.
Practica★☆☆Sense començar
Calcula la variància i la desviació típica del conjunt de dades següent, corresponents a les edats d'un grup de cinc amics: $15, 16, 15, 17, 16$.
Calcula la variància i la desviació típica del conjunt de dades següent, corresponents a les edats d'un grup de cinc amics: $15, 16, 15, 17, 16$.
En un estudi estadístic amb $N = 40$ dades, es sap que la mitjana aritmètica és $\bar{x} = 5,2$ i que la suma dels quadrats de totes les dades és $\sum x_i^2 = 1250$.…
En un estudi estadístic amb $N = 40$ dades, es sap que la mitjana aritmètica és $\bar{x} = 5,2$ i que la suma dels quadrats de totes les dades és $\sum x_i^2 = 1250$. Utilitzant la fórmula abreujada, calcula la variància i la desviació típica.
La taula següent mostra el temps, en minuts, que triguen els empleats d'una fàbrica a arribar al seu lloc de treball: $[0, 10)$: $12$ empleats $[10, 20)$: $18$ empleats…
La taula següent mostra el temps, en minuts, que triguen els empleats d'una fàbrica a arribar al seu lloc de treball:
$[0, 10)$: $12$ empleats
$[10, 20)$: $18$ empleats
$[20, 30)$: $14$ empleats
$[30, 40)$: $6$ empleats
Calcula la variància i la desviació típica del temps de trajecte utilitzant les marques de classe.
Si coneixes mitjana i variància de dos grups per separat, pots trobar la variància del grup total sense tornar a totes les dades una per una, fent servir que $\sum x_i^2 = N(\sigma^2 + \bar{x}^2)$ en cada grup i sumant.
Practica★☆☆Sense començar
La desviació típica de les alçades d'un grup d'arbres d'un viver és de $12\text{ cm}$. Si es sap que d'aquí a un any tots els arbres hauran crescut exactament…
La desviació típica de les alçades d'un grup d'arbres d'un viver és de $12\text{ cm}$. Si es sap que d'aquí a un any tots els arbres hauran crescut exactament $15\text{ cm}$, quina serà la nova desviació típica de les seves alçades? Justifica la teva resposta utilitzant les propietats de les mesures de dispersió.
En una empresa tecnològica, la variància dels salaris mensuals dels seus empleats és de $40\,000\text{ €}^2$. Si la direcció decideix augmentar tots els salaris un $5\%$…
En una empresa tecnològica, la variància dels salaris mensuals dels seus empleats és de $40\,000\text{ €}^2$. Si la direcció decideix augmentar tots els salaris un $5\%$ (és a dir, multiplicar-los per $1,05$), quina serà la nova variància dels salaris?
Una acadèmia d'idiomes té dos grups de nivell B2. El grup de matí té $20$ alumnes amb una nota mitjana de $7$ i una variància de $1,5$. El grup de tarda té $30$ alumnes…
Una acadèmia d'idiomes té dos grups de nivell B2. El grup de matí té $20$ alumnes amb una nota mitjana de $7$ i una variància de $1,5$. El grup de tarda té $30$ alumnes amb la mateixa nota mitjana de $7$, però amb una variància de $2,5$. Calcula la variància global dels $50$ alumnes de nivell B2 combinats.
Què està més dispers: les alçades d'un equip de bàsquet ($\sigma = 8\,\text{cm}$) o les d'un equip de gimnàstica ($\sigma = 7\,\text{cm}$)? No es poden comparar directament si les mitjanes són molt diferents ($1{,}95\,\text{m}$ davant de $1{,}65\,\text{m}$): cal relativitzar.
Practica★☆☆Sense començar
En una classe de 4t d'ESO, la nota mitjana en un examen d'història ha estat de $6,5$ punts i el coeficient de variació és del $20\%$. A partir d'aquestes dades, calcula…
En una classe de 4t d'ESO, la nota mitjana en un examen d'història ha estat de $6,5$ punts i el coeficient de variació és del $20\%$. A partir d'aquestes dades, calcula la variància de les notes de la classe.
En un equip de bàsquet, l'alçada mitjana dels jugadors és de $1,95\text{ m}$ amb una desviació típica de $0,08\text{ m}$. D'altra banda, en un equip de gimnàstica…
En un equip de bàsquet, l'alçada mitjana dels jugadors és de $1,95\text{ m}$ amb una desviació típica de $0,08\text{ m}$. D'altra banda, en un equip de gimnàstica rítmica, l'alçada mitjana és de $1,65\text{ m}$ amb una desviació típica de $0,07\text{ m}$. Quin equip presenta una alçada més dispersa en termes relatius? Justifica la teva resposta numèricament.
Torna al principi: Amb notes de mitjana $6{,}5$, l'estudiant constant ($6, 7, 6, 7$) té una desviació típica de només $\sigma = 0{,}5$, mentre que l'estudiant irregular ($3, 10, 3, 10$) arriba a $\sigma = 3{,}5$.
Resum
A practicar! 10 exercicis de nivell mitjà en aquest apartat