En l'apartat anterior has calculat combinacions amb la fórmula $C_{n,k} = \dfrac{n!}{k!(n-k)!}$. Aquesta mateixa quantitat té una notació pròpia, més compacta, que faràs servir contínuament a partir d'ara: el nombre combinatori.
Calcula el valor numèric dels següents nombres combinatoris aplicant la seva fórmula de definició: a) $\binom{9}{3}$ b) $\binom{15}{0}$ c) $\binom{8}{8}$ d)…
Calcula el valor numèric dels següents nombres combinatoris aplicant la seva fórmula de definició:
Hi ha valors de $\binom{n}{k}$ que convé saber de memòria perquè apareixen constantment.
Practica★☆☆Sense començar
Utilitzant la propietat de simetria dels nombres combinatoris, determina el valor numèric de $x$ (sabent que és diferent de 5) que compleix la següent igualtat:…
Utilitzant la propietat de simetria dels nombres combinatoris, determina el valor numèric de $x$ (sabent que és diferent de 5) que compleix la següent igualtat:
Ja has vist que cada nombre del triangle de Pascal és la suma dels dos que té a sobre. Escrita amb nombres combinatoris, aquesta observació és una propietat amb nom propi.
Aquesta regla et permet sumar nombres combinatoris sense desenvolupar cap factorial, sempre que siguin "veïns" (mateix $n$, i els $k$ consecutius).
Practica★☆☆Sense començar
Troba el valor exacte de la següent suma sense necessitat de calcular cada nombre combinatori de forma individual, aplicant les propietats conegudes:…
Troba el valor exacte de la següent suma sense necessitat de calcular cada nombre combinatori de forma individual, aplicant les propietats conegudes:
Expressa la suma $\binom{11}{4} + \binom{11}{5}$ com un únic nombre combinatori utilitzant la relació de recurrència (fórmula de Pascal) i, a continuació, calcula el seu…
Expressa la suma $\binom{11}{4} + \binom{11}{5}$ com un únic nombre combinatori utilitzant la relació de recurrència (fórmula de Pascal) i, a continuació, calcula el seu valor numèric.
Aprofundiment: El terme general del binomi de Newton
Per desenvolupar $(a+b)^n$ no sempre cal escriure tots els termes: si només t'interessa un (per exemple, el que té $x^3$, o el que no té $x$), pots calcular-lo directament.
Per trobar el terme independent (el que no porta $x$), es planteja que l'exponent total de $x$ en aquest terme sigui $0$ i s'aïlla $k$.
Practica★☆☆Sense començar
Determina únicament el coeficient numèric que acompanya el terme en $x^3$ en el desenvolupament del binomi $(x + 4)^5$.
Determina únicament el coeficient numèric que acompanya el terme en $x^3$ en el desenvolupament del binomi $(x + 4)^5$.
Calcula i simplifica al màxim el quart terme del desenvolupament del binomi $(3x - \frac{y}{2})^7$, ordenant els termes segons les potències decreixents de $x$.
Calcula i simplifica al màxim el quart terme del desenvolupament del binomi $(3x - \frac{y}{2})^7$, ordenant els termes segons les potències decreixents de $x$.
Els nombres combinatoris també compten camins. Si només pots moure't cap a la dreta o cap amunt en una quadrícula, cada camí mínim d'$A$ a $B$ és una seqüència de moviments "dreta" (D) i "amunt" (A), i comptar camins és el mateix que comptar de quantes maneres es poden col·locar les lletres D i A en aquesta seqüència: una permutació amb repetició, que coincideix amb un nombre combinatori.
Practica★★☆Sense començar
En un dispositiu de Galton utilitzat per a demostracions de probabilitat, una bola cau a través de 6 nivells de claus. En cada nivell, la bola xoca contra un clau i pot…
En un dispositiu de Galton utilitzat per a demostracions de probabilitat, una bola cau a través de 6 nivells de claus. En cada nivell, la bola xoca contra un clau i pot rebotar cap a l'esquerra o cap a la dreta. Expressa mitjançant un nombre combinatori la quantitat de camins diferents que porten al tercer compartiment des de l'esquerra (considerant el compartiment situat més a l'esquerra com el nombre zero) i calcula aquest valor.