Sistemes d'equacions lineals
En un corral hi ha vaques i gallines: 35 caps i 110 potes en total. Una sola equació no n'hi ha prou per a dues incògnites, però aquí tens dues pistes: el nombre de caps i el nombre de potes. Ajuntant les dues equacions que generen, el problema queda resolt. Això és un sistema.
Què és un sistema de dues equacions
Comprovar és substituir en totes dues: $20 + 15 = 35$ ✓ i $4 \cdot 20 + 2 \cdot 15 = 80 + 30 = 110$ ✓. Si només en compleix una, no val com a solució del sistema.
Comprova si el parell de valors $x = 3$, $y = -2$ és solució del sistema d'equacions següent. Justifica la teva resposta mostrant els càlculs. $$ \begin{cases} 4x + 3y =…
Comprova si el parell de valors $x = 3$, $y = -2$ és solució del sistema d'equacions següent. Justifica la teva resposta mostrant els càlculs.
$$ \begin{cases} 4x + 3y = 6 \\ -2x + 5y = -16 \end{cases} $$En una granja hi ha vaques i gallines. Si en total es compten $35$ caps i $110$ potes, planteja un sistema d'equacions lineals per esbrinar quants animals hi ha de cada…
En una granja hi ha vaques i gallines. Si en total es compten $35$ caps i $110$ potes, planteja un sistema d'equacions lineals per esbrinar quants animals hi ha de cada classe.
Significat gràfic: dues rectes
Cada equació del sistema és una recta. La solució del sistema és el punt on es tallen.
Observa la representació gràfica següent d'un sistema de dues equacions lineals amb dues incògnites. Determina la solució del sistema a partir de la gràfica i…
Observa la representació gràfica següent d'un sistema de dues equacions lineals amb dues incògnites. Determina la solució del sistema a partir de la gràfica i classifica'l segons el seu nombre de solucions.
Classificar sense resoldre: comparant coeficients
Pots saber de quin tipus és un sistema sense resoldre'l, només comparant les raons entre coeficients de $\begin{cases} a_1x + b_1y = c_1 \\ a_2x + b_2y = c_2 \end{cases}$.
Classifica els sistemes següents en compatibles determinats, compatibles indeterminats o incompatibles, analitzant la proporció entre els seus coeficients, sense…
Classifica els sistemes següents en compatibles determinats, compatibles indeterminats o incompatibles, analitzant la proporció entre els seus coeficients, sense necessitat de resoldre'ls. Justifica la teva resposta en cada cas.
- a) $ \begin{cases} 3x - 2y = 5 \\ -6x + 4y = -10 \end{cases} $
- b) $ \begin{cases} x + 4y = 7 \\ 2x + 8y = 12 \end{cases} $
- c) $ \begin{cases} 5x - y = 3 \\ 2x + 3y = 8 \end{cases} $
Classificar sense dividir entre zero
Per a dues equacions que representin rectes, si $a_1b_2-a_2b_1\ne0$, hi ha una única solució. Si val zero, compara les files $(a_1,b_1,c_1)$ i $(a_2,b_2,c_2)$: coeficients proporcionals i constants en la mateixa proporció donen la mateixa recta; si les constants no guarden aquesta proporció, no hi ha solució. Una equació $0x+0y=0$ no imposa cap condició; $0x+0y=c$ amb $c\ne0$ és impossible.
Per exemple, $x=2$, $y=3$ té solució única $(2,3)$, tot i que el mètode dels quocients dividiria entre zero.
Sistemes amb paràmetre
Quan un sistema té una lletra a més de $x$ i $y$ (un paràmetre, normalment $k$), pots fer servir la mateixa comparació de coeficients per estudiar com canvia el tipus de sistema segons el seu valor.
Discuteix el següent sistema d'equacions en funció del paràmetre $k$. Determina per a quins valors de $k$ el sistema no té solució i per a quins té una solució única. $$…
Discuteix el següent sistema d'equacions en funció del paràmetre $k$. Determina per a quins valors de $k$ el sistema no té solució i per a quins té una solució única.
$$ \begin{cases} kx + 2y = 6 \\ 3x + (k-1)y = 9 \end{cases} $$Aprofundiment: sistemes de tres equacions amb tres incògnites
La mateixa idea s'estén a tres incògnites amb tres equacions. L'eina habitual és el mètode de Gauss: usar la reducció per anar eliminant incògnites fins a deixar una equació esglaonada amb una sola.
Un cop esglaonat, es resol de baix cap amunt: primer $z$, després se substitueix per trobar $y$, i finalment $x$.
Resol el sistema següent de tres equacions amb tres incògnites utilitzant el mètode de reducció (mètode de Gauss): $$ \begin{cases} x + 2y - z = 3 \\ 2x - y + 3z = 10 \\…
Resol el sistema següent de tres equacions amb tres incògnites utilitzant el mètode de reducció (mètode de Gauss):
$$ \begin{cases} x + 2y - z = 3 \\ 2x - y + 3z = 10 \\ -x + 3y + 2z = 5 \end{cases} $$