Tendència i periodicitat
Una tassa de cafè es refreda, però mai per sota de la temperatura de l'habitació. Les marees pugen i baixen sempre amb el mateix ritme. Dues situacions molt diferents, dues idees clau d'aquest apartat: la tendència a llarg termini i la repetició periòdica.
Tendència quan x creix molt
Donada la funció racional $f(x) = \frac{3x + 1}{x + 2}$, calcula els valors de $f(10)$, $f(100)$ i $f(1000)$. A partir d'aquests resultats, dedueix a quin valor tendeix…
Donada la funció racional $f(x) = \frac{3x + 1}{x + 2}$, calcula els valors de $f(10)$, $f(100)$ i $f(1000)$. A partir d'aquests resultats, dedueix a quin valor tendeix la funció quan $x$ es fa infinitament gran.
La temperatura d'una tassa de cafè acabada de servir és de $80^\circ\text{C}$. En deixar-la reposar en una habitació, la seva temperatura disminueix amb el temps, i es…
La temperatura d'una tassa de cafè acabada de servir és de $80^\circ\text{C}$. En deixar-la reposar en una habitació, la seva temperatura disminueix amb el temps, i es modelitza mitjançant una funció $T(t)$ que presenta una asímptota horitzontal a $y = 22$. Quin significat físic té aquest valor de $22$ en el context del problema?
Observa la gràfica de la funció $T(t)$, que representa l'evolució de la temperatura d'un component electrònic d'un servidor en funció del temps d'encesa. A quin valor…
Observa la gràfica de la funció $T(t)$, que representa l'evolució de la temperatura d'un component electrònic d'un servidor en funció del temps d'encesa. A quin valor tendeix la temperatura a llarg termini?
La població d'una espècie d'ocell introduïda en una illa segueix el model matemàtic $P(t) = \frac{1500t + 200}{3t + 1}$, on $t$ representa el temps transcorregut en anys…
La població d'una espècie d'ocell introduïda en una illa segueix el model matemàtic $P(t) = \frac{1500t + 200}{3t + 1}$, on $t$ representa el temps transcorregut en anys des de la seva introducció. Determina quina va ser la població inicial d'ocells i calcula a quin valor tendeix la població a llarg termini quan $t$ es fa molt gran.
Tendència en models de refredament i depreciació
El valor econòmic d'una màquina industrial es deprecia amb el pas del temps segons la funció exponencial $V(t) = 50000 \cdot 0,85^t + 2000$, on $t$ són els anys d'ús i…
El valor econòmic d'una màquina industrial es deprecia amb el pas del temps segons la funció exponencial $V(t) = 50000 \cdot 0,85^t + 2000$, on $t$ són els anys d'ús i $V(t)$ el valor en euros. Quin és el valor de la màquina quan es compra nova ($t=0$)? Quina és la tendència del valor de la màquina quan el temps d'ús es fa infinitament gran? Explica el significat econòmic d'aquest límit.
La concentració d'un medicament en el torrent sanguini (mesurada en mg/L) a les $t$ hores de la seva administració intravenosa ve donada per la funció…
La concentració d'un medicament en el torrent sanguini (mesurada en mg/L) a les $t$ hores de la seva administració intravenosa ve donada per la funció $C(t) = \frac{50t}{t^2 + 9}$. Analitza la tendència d'aquesta concentració a llarg termini. Existeix algun moment en el futur en què la concentració s'estabilitzi en un valor constant diferent de zero, o acabarà desapareixent per complet de l'organisme? Justifica la teva resposta matemàticament.
Determina el valor exacte del paràmetre $k$ perquè la funció racional $f(x) = \frac{kx^2 - 3x + 1}{2x^2 + 5}$ tendeixi a $4$ quan $x$ es fa infinitament gran. Una vegada…
Determina el valor exacte del paràmetre $k$ perquè la funció racional $f(x) = \frac{kx^2 - 3x + 1}{2x^2 + 5}$ tendeixi a $4$ quan $x$ es fa infinitament gran. Una vegada trobat aquest valor de $k$, calcula quina és l'ordenada a l'origen de la funció.
Funcions periòdiques
Per calcular $f$ en un valor «llunyà» de $x$, es resta (o se suma) el període $T$ les vegades que calgui fins a caure dins d'un cicle ja conegut.
Una màquina d'envasament industrial emet un xiulit d'advertència cada $45$ segons de forma constant. Si el primer xiulit es produeix en l'instant $t = 0$, determina si…
Una màquina d'envasament industrial emet un xiulit d'advertència cada $45$ segons de forma constant. Si el primer xiulit es produeix en l'instant $t = 0$, determina si la màquina emetrà un xiulit en $t = 300$ segons i en $t = 360$ segons.
Una funció $f(x)$ és estrictament periòdica i el seu període és $T = 6$. Es coneixen els valors següents en el seu primer cicle: $f(2) = 5$, $f(4) = -1$ i $f(6) = 3$.…
Una funció $f(x)$ és estrictament periòdica i el seu període és $T = 6$. Es coneixen els valors següents en el seu primer cicle: $f(2) = 5$, $f(4) = -1$ i $f(6) = 3$. Calcula els valors exactes de $f(26)$ i $f(40)$.
La llum d'un far marítim gira a velocitat constant, donant una volta completa cada $12$ segons. Si en l'instant $t = 3$ segons el feix de llum il·lumina directament un…
La llum d'un far marítim gira a velocitat constant, donant una volta completa cada $12$ segons. Si en l'instant $t = 3$ segons el feix de llum il·lumina directament un vaixell proper, en quins altres instants exactes durant el primer minut ($60$ segons) el tornarà a il·luminar?
Una funció $f(x)$ és periòdica de període $T = 8$. En l'interval $[0, 8)$, la funció està definida a trossos de la manera següent: $f(x) = 2x$ si $0 \le x < 4$, i…
Una funció $f(x)$ és periòdica de període $T = 8$. En l'interval $[0, 8)$, la funció està definida a trossos de la manera següent: $f(x) = 2x$ si $0 \le x < 4$, i $f(x) = 12 - x$ si $4 \le x < 8$. Calcula els valors exactes de $f(45)$ i $f(100)$.
Període de funcions trigonomètriques i situacions reals
Les marees, les voltes d'una sínia o els xiulets d'una màquina a intervals regulars es modelitzen amb funcions periòdiques, encara que només algunes d'elles siguin trigonomètriques pures.
Indica quin és el període exacte de les funcions trigonomètriques elementals $f(x) = \text{sen}(x)$ i $g(x) = \text{cos}(x)$. Si $\text{sen}(\frac{\pi}{6}) = 0,5$, quin…
Indica quin és el període exacte de les funcions trigonomètriques elementals $f(x) = \text{sen}(x)$ i $g(x) = \text{cos}(x)$. Si $\text{sen}(\frac{\pi}{6}) = 0,5$, quin serà el valor de $\text{sen}(\frac{13\pi}{6})$?
El nivell de l'aigua en un port marítim varia a causa de les marees seguint una funció periòdica. Sabent que al llarg d'un dia el nivell màxim d'aigua (plenamar)…
El nivell de l'aigua en un port marítim varia a causa de les marees seguint una funció periòdica. Sabent que al llarg d'un dia el nivell màxim d'aigua (plenamar) s'assoleix exactament a les 02:00 h i a les 14:30 h, determina el període exacte de les marees en aquest port. Si aquest patró es manté inalterat, a quina hora s'assolirà el primer nivell màxim del dia següent?
Determina el període exacte de les funcions trigonomètriques combinades següents, raonant la teva resposta a partir de les propietats de les funcions sinus i cosinus:…
Determina el període exacte de les funcions trigonomètriques combinades següents, raonant la teva resposta a partir de les propietats de les funcions sinus i cosinus: $f(x) = \text{sen}(4x)$ i $g(x) = \text{cos}\left(\frac{x}{3}\right)$.
Una sínia d'un parc d'atraccions té un diàmetre de $40$ metres i el seu eix central es troba a $22$ metres d'altura respecte del terra. La sínia gira a velocitat…
Una sínia d'un parc d'atraccions té un diàmetre de $40$ metres i el seu eix central es troba a $22$ metres d'altura respecte del terra. La sínia gira a velocitat constant i triga exactament $4$ minuts a donar una volta completa. Si una persona puja a la cabina a la part més baixa en l'instant $t = 0$, determina a quina altura exacta respecte del terra es trobarà d'aquí a $t = 11$ minuts.
Torna al principi: El cafè no baixa de la temperatura ambient perquè el seu refredament segueix un model exponencial decreixent amb asímptota en aquest valor ($C$), mentre que les marees pugen i baixen al mateix ritme perquè la seva oscil·lació és periòdica amb un període constant d'unes $12$ hores.