Operacions amb nombres irracionals
En física i enginyeria les fórmules deixen radicals a mig simplificar: el període d'un pèndol, la tensió d'un cable, el volum d'un cristall. Saber operar amb $\sqrt{\phantom{x}}$ sense recórrer a la calculadora a cada pas és el que et permet arribar a una expressió exacta i simplificada.
Extreure factors d'un radical
Descompon el radicand en factors primers i treu del radical els que es puguin agrupar en grups de mida igual a l'índex.
Extreu tots els factors possibles dels radicals següents per expressar-los en la seva forma més simple: a) $\sqrt{252}$ b) $\sqrt[3]{1080}$
Extreu tots els factors possibles dels radicals següents per expressar-los en la seva forma més simple:
- a) $\sqrt{252}$
- b) $\sqrt[3]{1080}$
Sumar i restar radicals semblants
Només es poden reduir a un únic terme per suma de coeficients radicals amb el mateix índex i el mateix radicand (igual que només sumes termes semblants en àlgebra).
Realitza la següent operació agrupant els radicals semblants i expressa el resultat final: $7\sqrt{5} - 2\sqrt{5} + 4\sqrt{5} - \sqrt{5}$
Realitza la següent operació agrupant els radicals semblants i expressa el resultat final:
$7\sqrt{5} - 2\sqrt{5} + 4\sqrt{5} - \sqrt{5}$
Multiplicar, dividir i elevar radicals
Amb índex enter $n\ge2$, utilitza les fórmules següents amb radicands $a,b\ge0$ si $n$ és parell; per a índex senar poden ser reals de qualsevol signe. En quocients exigeix $b\ne0$. Per a la potència, $m$ és un enter positiu; si és negatiu, exigeix a més $a\ne0$.
Per a radicands positius, dos índexs diferents primer es redueixen a índex comú (mínim comú múltiple dels índexs):
Multiplica els radicals següents i simplifica el resultat extreient els factors que siguin possibles: $\sqrt{15} \cdot \sqrt{10}$
Multiplica els radicals següents i simplifica el resultat extreient els factors que siguin possibles:
$\sqrt{15} \cdot \sqrt{10}$
Expressa com un únic radical utilitzant les propietats de les arrels i simplifica el resultat: $\sqrt{\sqrt[3]{64}}$
Expressa com un únic radical utilitzant les propietats de les arrels i simplifica el resultat:
$\sqrt{\sqrt[3]{64}}$
Efectua la següent operació combinada amb radicals aplicant la propietat distributiva i simplifica al màxim el resultat:…
Efectua la següent operació combinada amb radicals aplicant la propietat distributiva i simplifica al màxim el resultat:
$\sqrt{3} \cdot (\sqrt{27} - \sqrt{12}) + 5\sqrt{9}$
Racionalitzar: treure l'arrel del denominador
Dividir entre un nombre amb arrels és incòmode. Racionalitzar és transformar la fracció perquè el denominador quedi sense radicals, multiplicant a dalt i a baix per l'expressió adequada.
Racionalitza el denominador de la següent fracció i simplifica l'expressió resultant: $\frac{18}{\sqrt{3}}$
Racionalitza el denominador de la següent fracció i simplifica l'expressió resultant:
$\frac{18}{\sqrt{3}}$
La intensitat d'un senyal electromagnètic en un cert punt de l'espai s'ha modelitzat mitjançant l'expressió $I = \frac{12}{\sqrt{5} - \sqrt{2}}$ W/m$^2$. Racionalitza…
La intensitat d'un senyal electromagnètic en un cert punt de l'espai s'ha modelitzat mitjançant l'expressió $I = \frac{12}{\sqrt{5} - \sqrt{2}}$ W/m$^2$. Racionalitza l'expressió per calcular el valor exacte de la intensitat sense arrels al denominador.
Demostra que la següent expressió representa un nombre enter, fent les operacions de suma de fraccions i les racionalitzacions necessàries pas a pas:…
Demostra que la següent expressió representa un nombre enter, fent les operacions de suma de fraccions i les racionalitzacions necessàries pas a pas:
$\frac{\sqrt{7} + \sqrt{3}}{\sqrt{7} - \sqrt{3}} + \frac{\sqrt{7} - \sqrt{3}}{\sqrt{7} + \sqrt{3}}$