El període d'un pèndol, el creixement d'un cultiu de laboratori cada «mig dia», la relació entre el volum i la superfície d'un animal: totes aquestes fórmules fan servir exponents que no són nombres enters. Un exponent $\frac{1}{2}$ o $\frac{2}{3}$ és, en realitat, una arrel escrita d'una altra manera.
En les equivalències amb exponents racionals treballarem amb base $a>0$, numerador enter i índex enter $n\ge2$. L'arrel d'índex parell és la principal, no negativa. $0^q=0$ per a $q>0$; $0^0$ i els exponents negatius de zero no es defineixen aquí. Les arrels imparells admeten radicands negatius, per exemple $\sqrt[3]{-8}=-2$, però no traslladem sense més totes les regles a bases negatives: $\sqrt{(-1)^2}=1$, mentre que $(-1)^{2/2}=-1$. En general, $\sqrt{x^2}=|x|$.
Practica★☆☆Sense començar
Expressa els següents radicals com a potències d'exponent fraccionari: $\sqrt[5]{x^3}$, $\sqrt{7}$, $\sqrt[4]{a^5}$.
Expressa els següents radicals com a potències d'exponent fraccionari: $\sqrt[5]{x^3}$, $\sqrt{7}$, $\sqrt[4]{a^5}$.
Si el numerador i el denominador de l'exponent tenen factors comuns, el radical es pot simplificar a un índex més petit.
Practica★☆☆Sense començar
Simplifica els següents radicals expressant-los primer com a potència d'exponent fraccionari i reduint la fracció obtinguda: $\sqrt[6]{8}$, $\sqrt[10]{x^5}$,…
Simplifica els següents radicals expressant-los primer com a potència d'exponent fraccionari i reduint la fracció obtinguda: $\sqrt[6]{8}$, $\sqrt[10]{x^5}$, $\sqrt[12]{a^8}$.
Amb exponents fraccionaris, multiplicar o dividir radicals de diferent índex és tan fàcil com sumar o restar fraccions.
Practica★☆☆Sense començar
Realitza la següent multiplicació expressant prèviament els radicals com a potències d'exponent fraccionari. Dona el resultat final en forma de radical:…
Realitza la següent multiplicació expressant prèviament els radicals com a potències d'exponent fraccionari. Dona el resultat final en forma de radical: $\sqrt{x} \cdot \sqrt[3]{x}$.
Redueix a índex comú i ordena de menor a major els següents nombres, passant prèviament cada radical a potència d'exponent racional: $\sqrt{2}$, $\sqrt[3]{3}$,…
Redueix a índex comú i ordena de menor a major els següents nombres, passant prèviament cada radical a potència d'exponent racional: $\sqrt{2}$, $\sqrt[3]{3}$, $\sqrt[4]{4}$.
En un cultiu de laboratori, la massa d'un bolet es modelitza mitjançant l'expressió $M(t) = M_0 \cdot 2^{t/3}$, on $t$ és el temps transcorregut en dies. Si la massa…
En un cultiu de laboratori, la massa d'un bolet es modelitza mitjançant l'expressió $M(t) = M_0 \cdot 2^{t/3}$, on $t$ és el temps transcorregut en dies. Si la massa inicial és de $15$ grams, calcula la massa del bolet després de $6$ dies i expressa-la en forma de radical per a l'instant $t = 4$ dies.
La superfície corporal $S$ i el volum $V$ d'un mamífer estan relacionats de manera aproximada per la llei al·lomètrica $S = k \cdot V^{2/3}$, on $k$ és una constant. Si…
La superfície corporal $S$ i el volum $V$ d'un mamífer estan relacionats de manera aproximada per la llei al·lomètrica $S = k \cdot V^{2/3}$, on $k$ és una constant. Si un elefant té un volum $1\,000$ vegades més gran que el d'un gos mitjà, quantes vegades més gran serà la superfície corporal de l'elefant respecte de la del gos? Justifica la teva resposta pas a pas fent servir les propietats de les potències.
Torna al principi: Si un cultiu bacterià es duplica cada dia ($2^t$), el factor de creixement després de mig dia ($t = 1/2$) és $2^{1/2} = \sqrt{2} \approx 1{,}41$, és a dir, augmenta aproximadament un $41\,\%$.
Resum
A practicar! 10 exercicis de nivell mitjà en aquest apartat