Funció de proporcionalitat inversa
Si un rectangle té sempre la mateixa àrea, com més llarga és la base, més curta és l'alçada: en doblar una, l'altra es redueix a la meitat. Aquesta relació «al revés» és la proporcionalitat inversa, i la seva gràfica té una forma molt diferent de la de les rectes i les paràboles: dues branques separades que mai no toquen els eixos.
La funció de proporcionalitat inversa
Treballem amb $k\ne0$ i $x\ne0$. Si $k=0$, $0/x=0$ per a $x\ne0$: ja no hi ha hipèrbola i el seu recorregut és $\{0\}$. Els controls següents separen els valors positius i negatius per estudiar la família no degenerada.
Explora primer el control positiu i després el negatiu.
-
Si $k > 0$: les branques són al primer i al tercer quadrant.
-
Si $k < 0$: les branques són al segon i al quart quadrant.
-
Com més gran és $|k|$, més allunyada és la corba dels eixos.
Donada la taula següent que relaciona la base $x$ i l'altura $y$ de diferents rectangles amb la mateixa àrea: $x$: $2$, $3$, $4$, $6$ $y$: $12$, $8$, $6$, $4$ Determina…
Donada la taula següent que relaciona la base $x$ i l'altura $y$ de diferents rectangles amb la mateixa àrea:
-
$x$: $2$, $3$, $4$, $6$
-
$y$: $12$, $8$, $6$, $4$
Determina si la relació entre $x$ i $y$ correspon a una funció de proporcionalitat inversa. En cas afirmatiu, troba la constant de proporcionalitat $k$ i escriu l'expressió algebraica de la funció.
Troba l'expressió algebraica de la funció de proporcionalitat inversa de la forma $y = \frac{k}{x}$ sabent que la seva gràfica passa pel punt $P(-2, 5)$.
Troba l'expressió algebraica de la funció de proporcionalitat inversa de la forma $y = \frac{k}{x}$ sabent que la seva gràfica passa pel punt $P(-2, 5)$.
Les asímptotes de la hipèrbola
En traslladar la hipèrbola, el centre de simetria (on es creuarien les asímptotes) ja no és a l'origen:
Donada la funció $g(x) = \frac{3}{x+4} - 2$, indica les equacions de les seves asímptotes horitzontal i vertical, i les coordenades del centre de simetria de la…
Donada la funció $g(x) = \frac{3}{x+4} - 2$, indica les equacions de les seves asímptotes horitzontal i vertical, i les coordenades del centre de simetria de la hipèrbola.
Sigui la funció de proporcionalitat inversa $f(x) = \frac{-12}{x}$, la representació gràfica de la qual és la següent: A partir de la seva expressió i de la seva…
Sigui la funció de proporcionalitat inversa $f(x) = \frac{-12}{x}$, la representació gràfica de la qual és la següent:
A partir de la seva expressió i de la seva gràfica, respon a les qüestions següents:
- a) Indica el seu domini i el seu recorregut.
- b) Escriu les equacions de les seves asímptotes.
- c) Determina si la funció és creixent o decreixent en el seu domini.
Domini i recorregut
Com que no es pot dividir entre $0$, la funció $y=\dfrac{k}{x}$ no està definida a $x=0$: el seu domini és $\mathbb{R}-\{0\}$. Tampoc no assoleix mai el valor $y=0$ (el quocient mai no dona exactament zero): recorregut $\mathbb{R}-\{0\}$.
Un tren recorre una distància fixa de $120\text{ km}$. Escriu la funció que relaciona el temps $t$ (en hores) que triga a fer el recorregut en funció de la velocitat…
Un tren recorre una distància fixa de $120\text{ km}$. Escriu la funció que relaciona el temps $t$ (en hores) que triga a fer el recorregut en funció de la velocitat mitjana $v$ (en $\text{km/h}$). Quin tipus de funció és? Identifica quina és la variable independent i quina la dependent.
Expressa la funció racional $f(x) = \frac{3x-7}{x-2}$ en la forma canònica $f(x) = \frac{k}{x-a} + b$ efectuant la divisió de polinomis corresponent. A continuació,…
Expressa la funció racional $f(x) = \frac{3x-7}{x-2}$ en la forma canònica $f(x) = \frac{k}{x-a} + b$ efectuant la divisió de polinomis corresponent. A continuació, indica les equacions de les seves asímptotes i el seu domini.
Proporcionalitat inversa en problemes reals
La proporcionalitat inversa apareix en repartiments inversos (més treballadors, menys temps), velocitat i temps a distància fixa, o pressió i volum d'un gas. La clau és identificar quin producte es manté constant.
Troba analíticament els punts d'intersecció entre la hipèrbola $y = \frac{4}{x}$ i la recta $y = -x + 5$.
Troba analíticament els punts d'intersecció entre la hipèrbola $y = \frac{4}{x}$ i la recta $y = -x + 5$.
Determina analíticament els punts de tall entre la funció racional $f(x) = \frac{2x+3}{x-1}$ i la recta $g(x) = x+1$.
Determina analíticament els punts de tall entre la funció racional $f(x) = \frac{2x+3}{x-1}$ i la recta $g(x) = x+1$.
Es vol construir un marc rectangular de fusta amb una àrea interior de $24\text{ cm}^2$. Escriu la funció que relaciona el perímetre $P$ del marc en funció de la…
Es vol construir un marc rectangular de fusta amb una àrea interior de $24\text{ cm}^2$.
Escriu la funció que relaciona el perímetre $P$ del marc en funció de la longitud de la seva base $x$. Determina, a partir de l'expressió algebraica, si la funció té cap asímptota obliqua i explica el seu significat geomètric.