Recta de regressió
Amb la covariància ja saps si dues variables pugen juntes o no. El pas següent és traçar una recta que resumeixi aquesta tendència i permeti estimar un valor de $Y$ a partir d'un de $X$: si coneixes l'alçada d'algú, quin pes es podria esperar?
La recta que millor s'ajusta
Calcula l'equació de la recta de regressió de $Y$ sobre $X$ per a una distribució bidimensional de la qual es coneixen els paràmetres estadístics següents: la mitjana de…
Calcula l'equació de la recta de regressió de $Y$ sobre $X$ per a una distribució bidimensional de la qual es coneixen els paràmetres estadístics següents: la mitjana de $X$ és $\bar{x} = 5$, la mitjana de $Y$ és $\bar{y} = 12$, la variància de $X$ és $\sigma_x^2 = 4$ i la covariància és $\sigma_{xy} = 6$. Expressa el resultat en la forma $y = mx + n$.
Les mitjanes de dues variables estadístiques són $\bar{x} = 10$ i $\bar{y} = 25$. Comprova matemàticament si la recta $y = 1,5x + 10$ pot ser la recta de regressió…
Les mitjanes de dues variables estadístiques són $\bar{x} = 10$ i $\bar{y} = 25$. Comprova matemàticament si la recta $y = 1,5x + 10$ pot ser la recta de regressió vàlida per a aquest conjunt de dades, meva/justificant la teva resposta mitjançant una propietat fonamental que han de complir totes les rectes de regressió.
Fer servir la recta per predir, amb prudència
L'equació de la recta de regressió del pes ($Y$, en kg) en funció de l'alçada ($X$, en cm) d'un grup d'estudiants és $y = 0,8x - 60$. Estima quin serà el pes aproximat…
L'equació de la recta de regressió del pes ($Y$, en kg) en funció de l'alçada ($X$, en cm) d'un grup d'estudiants és $y = 0,8x - 60$. Estima quin serà el pes aproximat d'un estudiant que mesura $170$ cm.
La recta de regressió de la quantitat de gelats venuts ($Y$) en funció de la temperatura màxima diària a $^\circ\text{C}$ ($X$) és $y = 15x - 120$. Si per a demà es…
La recta de regressió de la quantitat de gelats venuts ($Y$) en funció de la temperatura màxima diària a $^\circ\text{C}$ ($X$) és $y = 15x - 120$. Si per a demà es preveu una temperatura de $30^\circ\text{C}$, estima quants gelats es vendran. A més, si un altre dia es van vendre $255$ gelats, explica si és teòricament correcte utilitzar aquesta mateixa recta per estimar la temperatura que va fer o si el procediment rigorós exigiria calcular una altra recta diferent.
El coeficient de correlació r
Podem calcular la recta de $Y$ sobre $X$ si $\sigma_x^2>0$, encara que el seu ajust sigui dolent. Si tots els valors de $X$ són iguals, aquesta fórmula divideix entre zero i no determina un pendent únic. El coeficient de correlació requereix a més $\sigma_y>0$: si una variable és constant, $r$ no està definit, no és zero.
En un estudi bidimensional, l'equació de la recta de regressió de $Y$ sobre $X$ és $y = 0,2x + 15$. Sabent que la covariància calculada per a aquestes dades és…
En un estudi bidimensional, l'equació de la recta de regressió de $Y$ sobre $X$ és $y = 0,2x + 15$. Sabent que la covariància calculada per a aquestes dades és $\sigma_{xy} = 3,5$, justifica breument si el pendent de la recta obtinguda és coherent amb el signe de la covariància.
S'ha analitzat la relació entre dues variables i s'ha obtingut com a recta de regressió de $Y$ sobre $X$ l'equació $y = -3x + 20$. És possible que el coeficient de…
S'ha analitzat la relació entre dues variables i s'ha obtingut com a recta de regressió de $Y$ sobre $X$ l'equació $y = -3x + 20$. És possible que el coeficient de correlació lineal d'aquesta distribució sigui $r = 0,85$? Raona la teva resposta basant-te en la relació entre el pendent i la correlació.
Observa els dos diagrames de dispersió, A i B, que mostren la relació entre dues variables i inclouen les seves rectes de regressió respectives. En quina de les dues…
Observa els dos diagrames de dispersió, A i B, que mostren la relació entre dues variables i inclouen les seves rectes de regressió respectives. En quina de les dues distribucions serà més fiable realitzar una estimació de $Y$ a partir d'un valor de $X$ utilitzant la recta de regressió? Raona la teva resposta basant-te en el concepte visual de correlació i dispersió.
Correlació no és causalitat
Un $r$ proper a $1$ diu que dues variables es mouen juntes amb molta regularitat. No diu per què.
És la mateixa prudència que ja vas veure amb la paradoxa de Simpson a l'apartat anterior: els números d'una taula o un coeficient de correlació resumeixen què passa, però interpretar-los com a per què passa exigeix raonar sobre el context, no només mirar la xifra.
Investigació amb full de càlcul: pràctica i resultats
Pregunta: es relacionen els dies de pràctica de la setmana anterior amb el nombre d'encerts en una mateixa activitat de 20 preguntes? Defineix què compta com a dia de pràctica i fes servir la mateixa activitat i condicions per a tothom. En dues classes de 20 persones, sorteja'n cinc de cada una. Demana respostes voluntàries, sense noms, i registra les no respostes: no són zeros. El sorteig ajuda, però deu participants i una sola activitat no garanteixen representar el centre. No atribueixis les diferències a capacitat innata o gènere.
Abans de recollir dades, assaja amb aquestes cinc parelles fictícies, no amb resultats reals d'estudiants:
| Fila | A: dies de pràctica | B: encerts |
|---|---|---|
| 2 | 1 | 12 |
| 3 | 2 | 13 |
| 4 | 3 | 15 |
| 5 | 4 | 14 |
| 6 | 5 | 16 |
-
Escriu els encapçalaments a A1:B1 i les parelles a A2:B6. Conserva cada parella a la seva fila en ordenar. Comprova dies entre 0 i 7 i encerts entre 0 i 20; revisa els valors impossibles amb qui els va anotar.
-
A E1 escriu
Pendientei a F1=PENDIENTE(B2:B6;A2:A6). A E2 escriuOrdenadai a F2=INTERSECCION.EJE(B2:B6;A2:A6). Has d'obtenir $0{,}9$ i $11{,}3$. Els valors de Y van primer en aquestes fórmules. -
A E3 escriu
Correlacióni a F3=COEF.DE.CORREL(A2:A6;B2:B6): ha de donar $0{,}9$. Amb=PROMEDIO(A2:A6)i=PROMEDIO(B2:B6)comprova les mitjanes $3$ i $14$. -
Selecciona A1:B6 i insereix un gràfic de dispersió XY, amb dies en horitzontal i encerts en vertical. Afegeix una tendència lineal i mostra'n l'equació. Comprova $y=0{,}9x+11{,}3$; no uneixis els punts com si fossin una trajectòria temporal. Observa si hi ha curvatura o punts aïllats abans d'acceptar un ajust lineal.
-
A C1 escriu
Prediccióni a C2=$F$1*A2+$F$2; copia fins a C6. A D1 escriuResiduoi a D2=B2-C2; copia fins a D6. Les prediccions són $12{,}2;13{,}1;14;14{,}9;15{,}8$ i els residus $-0{,}2;-0{,}1;1;-0{,}9;0{,}2$. Tenir residus és normal: la recta no passa per totes les dades. -
Per a quatre dies, la predicció és $14{,}9$ encerts; és una estimació, no una promesa ni una qualificació. No extrapolis a deu dies en una setmana. Si una columna és constant, explica per què la correlació no es pot calcular.
Els noms de funcions i els separadors poden canviar segons l'idioma de l'aplicació; busca les funcions equivalents de pendent, ordenada de regressió i correlació de Pearson.
Conclusió: en les dades fictícies hi ha associació lineal positiva, però no s'ha provat que practicar més sigui l'única causa. Hi poden influir coneixements previs, ajuda o tipus de pràctica. En una investigació real, presenta pregunta, selecció, no respostes, gràfic, ajust i límits; no generalitzis automàticament a l'institut. Conserva les dades sense identificadors personals.
Modificar un algorisme i comprovar-lo
El procediment anterior és un algorisme: validar parelles → representar → comprovar variació i forma → ajustar → calcular residus → interpretar. Si algú ordena A i B per separat, destrueix les parelles: torna a la taula inicial per corregir-ho.
Dissenya instruccions per afegir una altra parella i ampliar tots els rangs, inclòs el gràfic. Prova-les amb la parella fictícia $(3,14)$: està sobre la recta i manté pendent i ordenada. Canvia després la unitat de X, multiplicant cada valor per 7: el nou pendent ha de ser $0{,}9/7$, però l'ordenada, les prediccions corresponents i la correlació no canvien. Explica quin pas has de modificar i per què. Finalment, crea un avís que aturi l'ajust si tots els valors de X són iguals.
Treballar junts i aprendre de l'error
Rotau la recollida de dades, la comprovació i l'explicació. Cada persona ha d'executar alguna fórmula i justificar una conclusió; repartiu tasques sense estereotips de gènere. Davant de resultats diferents, compareu dades i rangs abans de decidir. Si hi ha un bloqueig, identifica si la dificultat és en la dada, la fórmula o la interpretació i prova primer amb tres parelles. Demaneu ajuda explicant què heu intentat. Tanqueu amb una frase sobre l'error detectat i el canvi d'estratègia que va ajudar.
Torna al principi: Per estimar el pes segons l'alçada, calculem la recta de regressió de $Y$ (pes) sobre $X$ (alçada) fent servir les mitjanes, la covariància i la variància de l'alçada; en substituir l'alçada en l'equació obtenim el pes esperat, sempre que el coeficient de correlació sigui alt i no extrapolem fora del rang mesurat.