Nombres naturals
Fa des d'1r d'ESO que fas servir els nombres naturals. Aquest apartat és un repàs ràpid i a fons del que ja saps —jerarquia d'operacions, divisions, potències, arrels— i hi afegeix una eina nova: comptar combinacions sense haver de llistar-les una per una.
Operacions combinades: repàs de la jerarquia
L'ordre no canvia: primer parèntesis, claudàtors i claus; després potències i arrels; llavors multiplicacions i divisions; al final sumes i restes. Dins del mateix nivell, d'esquerra a dreta.
Calcula el resultat de la següent expressió combinada amb nombres naturals, respectant la jerarquia de les operacions: $15 - 3 \cdot (4 + 2) + 2^3 \cdot 5$
Calcula el resultat de la següent expressió combinada amb nombres naturals, respectant la jerarquia de les operacions:
$15 - 3 \cdot (4 + 2) + 2^3 \cdot 5$
Divisió entera
Tota divisió entera compleix una relació fixa entre els seus quatre elements.
En una divisió entera de nombres naturals, el divisor és $14$, el quocient és $23$ i el residu és $5$. Calcula el valor del dividend.
En una divisió entera de nombres naturals, el divisor és $14$, el quocient és $23$ i el residu és $5$. Calcula el valor del dividend.
El cometa Halley orbita al voltant del Sol i és visible des de la Terra aproximadament cada $76$ anys. La seva última aparició registrada va ser l'any $1986$. Serà…
El cometa Halley orbita al voltant del Sol i és visible des de la Terra aproximadament cada $76$ anys. La seva última aparició registrada va ser l'any $1986$. Serà visible l'any $3050$? En cas negatiu, quin serà l'any més pròxim a $3050$ en què es podrà observar?
Potències de naturals
Repassa'n les propietats: s'utilitzen constantment per simplificar expressions grans sense treure la calculadora.
Simplifica la següent expressió utilitzant les propietats de les potències i expressa el resultat com una única potència: $2^4 \cdot 5^4 \cdot 10^2$
Simplifica la següent expressió utilitzant les propietats de les potències i expressa el resultat com una única potència:
$2^4 \cdot 5^4 \cdot 10^2$
Utilitza la descomposició en factors primers i les propietats de les potències per simplificar al màxim la següent expressió, donant el resultat com un nombre natural:…
Utilitza la descomposició en factors primers i les propietats de les potències per simplificar al màxim la següent expressió, donant el resultat com un nombre natural:
$\frac{18^3 \cdot 12^4}{24^2 \cdot 9^4}$
Observa el comportament de les potències de $7$ ($7^1=7$, $7^2=49$, $7^3=343$, $7^4=2401$, $7^5=16807$, ...). Utilitza el patró que segueixen les xifres de les unitats…
Observa el comportament de les potències de $7$ ($7^1=7$, $7^2=49$, $7^3=343$, $7^4=2401$, $7^5=16807$, ...). Utilitza el patró que segueixen les xifres de les unitats per determinar quina serà l'última xifra del nombre $7^{2025}$.
Arrels exactes i quadrats perfectes
Un truc molt útil: la diferència entre dos quadrats consecutius és sempre un nombre senar.
Calcula el valor exacte de la següent operació amb arrels de nombres naturals: $\sqrt{144} + \sqrt[3]{125} - \sqrt[4]{16}$
Calcula el valor exacte de la següent operació amb arrels de nombres naturals:
$\sqrt{144} + \sqrt[3]{125} - \sqrt[4]{16}$
Un agricultor vol plantar $1000$ pomeres formant una quadrícula perfecta (un quadrat amb el mateix nombre d'arbres a cada fila i a cada columna). Quants arbres formaran…
Un agricultor vol plantar $1000$ pomeres formant una quadrícula perfecta (un quadrat amb el mateix nombre d'arbres a cada fila i a cada columna). Quants arbres formaran el costat del quadrat més gran possible? Quantes pomeres li sobraran sense plantar?
Un mosaic quadrat està format per rajoles quadrades de $1 \text{ cm} \times 1 \text{ cm}$. L'artista decideix ampliar el mosaic afegint una fila i una columna més de…
Un mosaic quadrat està format per rajoles quadrades de $1 \text{ cm} \times 1 \text{ cm}$. L'artista decideix ampliar el mosaic afegint una fila i una columna més de rajoles a les vores per formar un quadrat més gran. Si per a aquesta ampliació ha necessitat $41$ rajoles noves, quantes rajoles formaven el mosaic original?
Comptar sense llistar: el principi de multiplicació
Si un procés té diverses etapes independents, el nombre total de resultats possibles és el producte del nombre d'opcions de cada etapa.
En un restaurant ofereixen un menú que consta de $3$ primers plats, $4$ segons plats i $2$ postres diferents. Quantes combinacions diferents de menú (primer plat, segon…
En un restaurant ofereixen un menú que consta de $3$ primers plats, $4$ segons plats i $2$ postres diferents. Quantes combinacions diferents de menú (primer plat, segon i postra) es poden triar?