Exercicis: Teorema del residu

Troba el residu de la divisió del polinomi $P(x) = 3x^4 - 2x^3 + 5x - 7$ entre $x - 2$ sense efectuar la divisió.

Sabent que el polinomi és $Q(x) = x^3 + 4x^2 - x + 10$, calcula el valor numèric $Q(-3)$ i explica quina relació té aquest valor amb la divisió de $Q(x)$ entre $x + 3$.

Determina, utilitzant el teorema del residu, si el polinomi $R(x) = 2x^3 - 5x^2 + x + 2$ és divisible entre $x - 2$.

Calcula el residu de dividir el polinomi $S(x) = -x^5 + 3x^2 - 4$ entre $x + 1$ aplicant el teorema del residu.

Comprova mitjançant el teorema del residu si $x = -2$ és una arrel del polinomi $T(x) = x^4 + 3x^3 - 2x^2 + 12$.

Calcula el residu de dividir $U(x) = \frac{1}{2}x^3 - x^2 + 3x - \frac{5}{2}$ entre $x - 2$ sense realitzar la divisió per la regla de Ruffini.

Sabent que el residu de dividir un polinomi $P(x)$ entre $x - 4$ és $15$, indica quin és el valor numèric de $P(4)$ i justifica la teva resposta basant-te en el teorema del residu.

Troba el residu de la divisió de $V(x) = 4x^6 - 3x^4 + 2x^2 - 1$ entre $x + 1$ avaluant el polinomi en el valor adequat.

La Lucía ha de trobar el residu de dividir el polinomi $P(x) = 2x^3 - 5x + 7$ entre $(x + 2)$ sense fer la divisió llarga ni utilitzar la regla de Ruffini. A la seva llibreta escriu:

«Aplico el Teorema del residu substituint directament el nombre que acompanya la $x$:

$R = P(2) = 2 \cdot 2^3 - 5 \cdot 2 + 7 = 2 \cdot 8 - 10 + 7 = 16 - 10 + 7 = 13$.

Com que el residu és $13 \neq 0$, la divisió no és exacta i $(x + 2)$ no és factor de $P(x)$».

1. a) Localitza l'error conceptual que ha comès la Lucía i explica, recolzant-te en la identitat fonamental de la divisió $P(x) = (x - a) \cdot C(x) + R$, quin valor hauria d'haver substituït realment en el polinomi i per què.
2. b) Corregeix l'exercici calculant el residu vertader i indica si la conclusió de si $(x + 2)$ és factor de $P(x)$ es manté o canvia.

Una furgoneta de repartiment d'una empresa de paqueteria de Zaragoza fa la seva ruta de matí. L'energia restant a la seva bateria (mesurada en quilowatts-hora, $\text{kWh}$) després de $x$ hores de circulació continuada es modelitza mitjançant el polinomi $B(x) = -x^3 + 3x^2 - 16x + 48$, amb $0 \le x \le 3$.

1. a) Justifica, a partir del Teorema del residu, per què el residu de dividir $B(x)$ entre $(x - 3)$ indica exactament quanta energia li queda a la furgoneta en complir-se la tercera hora de repartiment.
2. b) Aplica el Teorema del residu per calcular aquest valor sense efectuar la divisió polinòmica i interpreta el resultat a la pràctica: s'ha esgotat del tot la bateria o pot continuar circulant? És $(x - 3)$ un factor del polinomi $B(x)$?

Calcula el valor del paràmetre $k$ perquè el residu de dividir el polinomi $P(x) = x^3 - kx^2 + 5x - 2$ entre $x - 3$ sigui igual a $10$.

La trajectòria d'un dron de curses en un tram de prova ve donada pel polinomi $A(t) = 2t^3 - mt^2 + 4t + 5$, on $t$ és el temps en segons i $A(t)$ l'altura en metres. Si als $2$ segons l'altura és de $17$ metres, utilitza el teorema del residu per determinar el valor del paràmetre $m$.

Troba el valor de $a$ perquè el polinomi $Q(x) = 2x^4 + ax^3 - 3x^2 + 5x - a$ sigui divisible entre $x + 2$.

Determina el valor de $b$ sabent que en dividir el polinomi $R(x) = 3x^3 + bx^2 - 2x + 4$ entre $x - 1$ s'obté el mateix residu que en dividir-lo entre $x + 2$.

Calcula el residu de dividir el polinomi $S(x) = x^{100} - 3x^{99} + 5$ entre $x - 1$ aplicant el teorema del residu.

En un experiment de química, la concentració d'un reactiu en funció del temps es modela amb el polinomi $C(t) = t^4 - 4t^3 + kt + 8$. Sabent que $C(t)$ és divisible entre $t - 2$, troba el valor de $k$ i, a continuació, calcula el residu de dividir $C(t)$ entre $t - 3$.

Troba el residu de dividir el polinomi $P(x) = 4x^3 - 6x^2 + 2x - 1$ entre el binomi $2x - 1$. Tingues en compte el valor que anul·la el divisor per aplicar el teorema del residu.

Els ingressos diaris d'una botiga, en centenars d'euros, s'aproximen mitjançant el polinomi $I(x) = -x^3 + 12x^2 - 20x + c$, on $x$ és el nombre de dies transcorreguts. Si el residu de dividir $I(x)$ entre $x - 5$ és $80$, troba el valor del terme independent $c$ usant el teorema del residu.

Per verificar l'estabilitat d'un algorisme de compressió de dades, un equip de programació necessita determinar si el polinomi $P(x) = x^{24} - 5x^8 + 4$ és divisible exactament entre $(x - 1)$ i entre $(x + 1)$. Dos integrants de l'equip discuteixen el procediment:

• En Sergio afirma: «El més segur és aplicar la regla de Ruffini en tots dos casos, perquè és el mètode estàndard per dividir entre binomis de la forma $(x - a)$ i ens dona també el quocient».

• La Marta respon: «En aquest cas concret, aplicar la regla de Ruffini és una pèrdua de temps innecessària i és molt més raonable utilitzar el Teorema del residu».

1. a) Analitza les dificultats pràctiques i el risc d'error que suposaria aplicar la regla de Ruffini en aquest polinomi (menciona quants coeficients caldria escriure i el seu valor).
2. b) Justifica quina de les dues postures és l'adequada tenint en compte la informació que demana el problema.
3. c) Utilitza el mètode més eficient per calcular els residus d'ambdues divisions i conclou justificadament si $(x - 1)$ i $(x + 1)$ són factors de $P(x)$.

L'Agència Estatal de Meteorologia (AEMET) modelitza la temperatura $T(t)$ (en $^{\circ}\text{C}$) en una estació de Molina de Aragón (Guadalajara) durant una nit de gener mitjançant el polinomi:

$T(t) = 0,5t^3 - 3t^2 + 2t + 4$

on $t$ representa les hores transcorregudes des de la mitjanit ($0 \le t \le 6$). L'equip meteorològic desitja conèixer el residu de dividir $T(t)$ entre $(t - 4)$, el qual coincideix amb la temperatura exacta a les $4:00\text{ h}$ de la matinada.

1. a) Estima: Tenint en compte que a les $0:00\text{ h}$ ($t = 0$) la temperatura era de $4\ ^{\circ}\text{C}$ i que durant les matinades serenes d'hivern en aquesta zona es produeixen glaçades severes, fes una estimació raonada prèvia: esperes que el residu de la divisió sigui positiu o negatiu? Creus que la divisió serà exacta ($R = 0$)?
2. b) Comprova: Calcula el residu de dividir $T(t)$ entre $(t - 4)$ aplicant el Teorema del residu.
3. c) Compara el valor obtingut amb la teva estimació, indica si $(t - 4)$ és factor de $T(t)$ i interpreta què implica el resultat numèric respecte al risc de congelació de l'aigua a terra ($0\ ^{\circ}\text{C}$).

Un polinomi $P(x)$ de segon grau compleix que en dividir-lo entre $x - 1$ el residu és $4$, en dividir-lo entre $x + 2$ el residu és $19$, i en dividir-lo entre $x$ el residu és $1$. Troba l'expressió algebraica completa de $P(x)$.

En dividir un polinomi $P(x)$ entre $x - 2$, el residu és $5$. En dividir el mateix polinomi entre $x + 3$, el residu és $-5$. Calcula el residu de la divisió de $P(x)$ entre el producte $(x - 2)(x + 3)$, sabent que aquest residu ha de ser un polinomi de grau menor que $2$.

El disseny del perfil de la carroceria d'un cotxe esportiu es modela matemàticament mitjançant un polinomi $D(x) = x^4 + ax^3 + bx^2 - 4x + 4$. Per garantir l'aerodinàmica òptima, el polinomi ha de ser divisible entre $x - 2$ i deixar un residu de $15$ en ser dividit entre $x + 1$. Planteja un sistema d'equacions utilitzant el teorema del residu i calcula els valors de $a$ i $b$.

Determina el valor dels paràmetres $m$ i $n$ perquè el polinomi $P(x) = x^3 + mx^2 + nx - 6$ sigui divisible entre $x^2 - 5x + 6$. Aplica el teorema del residu avaluant en les arrels del divisor.

Calcula el residu de la divisió del polinomi $P(x) = (x - 3)^{2024} + (x - 2)^{2023} - x + 5$ entre $x - 3$ aplicant el teorema del residu.

Demostra, utilitzant el teorema del residu, que el polinomi $P(x) = x^n - a^n$ és sempre divisible entre $x - a$ per a qualsevol nombre natural $n \geq 1$.

En una empresa de tecnologia, la funció de cost de producció d'un nou microxip es modela amb un polinomi de tercer grau $C(x) = ax^3 + bx^2 + cx + d$. Es sap que $C(0) = 10$, i que els residus de dividir $C(x)$ entre $x - 1$, $x + 1$ i $x - 2$ són $12$, $6$ i $30$ respectivament. Calcula els coeficients $a, b, c, d$.

Troba el valor del paràmetre $k$ perquè el residu de dividir $P(x) = x^3 - 2kx^2 + k^2x - 8$ entre $x - 2$ sigui exactament el doble del residu de dividir $P(x)$ entre $x - 1$.

Troba l'expressió analítica d'un polinomi de segon grau, $P(x) = ax^2 + bx + c$, que compleixi simultàniament aquestes tres condicions:

1. La seva gràfica talla l'eix vertical en el punt $(0, -6)$ (és a dir, el residu en dividir $P(x)$ entre $x$ és $-6$).

2. En dividir $P(x)$ entre $(x - 3)$, la divisió és exacta.

3. En dividir $P(x)$ entre $(x + 1)$ s'obté un residu que és justament l'oposat (mateix valor absolut però signe contrari) del residu que resulta en dividir-lo entre $(x - 2)$.

1. a) Tradueix cadascuna de les condicions a equacions algebraiques utilitzant el Teorema del residu.
2. b) Resol el sistema resultant per calcular amb precisió els coeficients $a$, $b$ i $c$, i escriu la fórmula completa de $P(x)$.
3. c) Comprova numèricament que el polinomi obtingut compleix la condició 2 demostrant que $x = 3$ és una arrel de $P(x)$.

Un estudi sobre transició ecològica elaborat amb dades de l'Institut Nacional d'Estadística (INE) modelitza la taxa de reciclatge de residus plàstics en una comunitat autònoma mitjançant el polinomi:

$R(t) = -t^3 + 9t^2 + k \cdot t + 30$

on $t$ és el temps en anys transcorreguts des de 2020 ($t = 0$ correspon a 2020, $t = 1$ a 2021, etc.), $R(t)$ representa el percentatge de reciclatge assolit i $k$ és un paràmetre que depèn de la inversió en campanyes de conscienciació.

1. a) La normativa europea exigia per a l'any 2023 ($t = 3$) una taxa de reciclatge del $75\,\%$. Sabent que, segons el Teorema del residu, la divisió de $R(t)$ entre $(t - 3)$ ha de donar com a residu exactament $75$, calcula el valor del paràmetre $k$.
2. b) Amb el valor de $k$ obtingut a l'apartat anterior, aplica el Teorema del residu per trobar el residu de dividir $R(t)$ entre $(t - 5)$ i explica quina magnitud real representa aquest nombre en el context de l'any 2025.
3. c) Valora amb sentit crític el resultat obtingut a l'apartat b): resulta admissible aquest model polinòmic per fer previsions per a l'any 2025 i posteriors? Justifica la teva resposta tenint en compte la definició i els límits lògics d'una taxa percentual.