Teorema del resto
Imagina que tu app de entrenamiento calcula cuántas calorías llevas quemadas con una fórmula polinómica y quieres saber el resultado dentro de dos horas exactas, sin tener que reconstruir toda la tabla de valores anteriores. El teorema del resto hace justo eso con polinomios: te da el resto de una división sin dividir, con una sola sustitución.
El teorema del resto
Halla el resto de la división del polinomio $P(x) = 3x^4 - 2x^3 + 5x - 7$ entre $x - 2$ sin efectuar la división.
Halla el resto de la división del polinomio $P(x) = 3x^4 - 2x^3 + 5x - 7$ entre $x - 2$ sin efectuar la división.
Calcula el resto de dividir $U(x) = \frac{1}{2}x^3 - x^2 + 3x - \frac{5}{2}$ entre $x - 2$ sin realizar la división por la regla de Ruffini.
Calcula el resto de dividir $U(x) = \frac{1}{2}x^3 - x^2 + 3x - \frac{5}{2}$ entre $x - 2$ sin realizar la división por la regla de Ruffini.
Restos con $x + a$: cuidado con el signo
Dividir entre $x + a$ es dividir entre $x - (-a)$, así que el valor que sustituyes no es $a$, sino $-a$.
Calcula el resto de dividir el polinomio $S(x) = -x^5 + 3x^2 - 4$ entre $x + 1$ aplicando el teorema del resto.
Calcula el resto de dividir el polinomio $S(x) = -x^5 + 3x^2 - 4$ entre $x + 1$ aplicando el teorema del resto.
Halla el resto de la división de $V(x) = 4x^6 - 3x^4 + 2x^2 - 1$ entre $x + 1$ evaluando el polinomio en el valor adecuado.
Halla el resto de la división de $V(x) = 4x^6 - 3x^4 + 2x^2 - 1$ entre $x + 1$ evaluando el polinomio en el valor adecuado.
Resto cero: la conexión con las raíces
El caso más importante del teorema es cuando el resto es exactamente $0$.
Determina, utilizando el teorema del resto, si el polinomio $R(x) = 2x^3 - 5x^2 + x + 2$ es divisible entre $x - 2$.
Determina, utilizando el teorema del resto, si el polinomio $R(x) = 2x^3 - 5x^2 + x + 2$ es divisible entre $x - 2$.
Comprueba mediante el teorema del resto si $x = -2$ es una raíz del polinomio $T(x) = x^4 + 3x^3 - 2x^2 + 12$.
Comprueba mediante el teorema del resto si $x = -2$ es una raíz del polinomio $T(x) = x^4 + 3x^3 - 2x^2 + 12$.
Hallar un parámetro para un resto concreto
Cuando un polinomio tiene una letra desconocida (un parámetro) y te dicen qué resto debe dar al dividirlo entre $(x-a)$, el teorema convierte el problema en una ecuación sencilla: sustituye, igual el resultado al resto pedido y despeja.
Calcula el valor del parámetro $k$ para que el resto de dividir el polinomio $P(x) = x^3 - kx^2 + 5x - 2$ entre $x - 3$ sea igual a $10$.
Calcula el valor del parámetro $k$ para que el resto de dividir el polinomio $P(x) = x^3 - kx^2 + 5x - 2$ entre $x - 3$ sea igual a $10$.
Halla el valor de $a$ para que el polinomio $Q(x) = 2x^4 + ax^3 - 3x^2 + 5x - a$ sea divisible entre $x + 2$.
Halla el valor de $a$ para que el polinomio $Q(x) = 2x^4 + ax^3 - 3x^2 + 5x - a$ sea divisible entre $x + 2$.
Determina el valor de $b$ sabiendo que al dividir el polinomio $R(x) = 3x^3 + bx^2 - 2x + 4$ entre $x - 1$ se obtiene el mismo resto que al dividirlo entre $x + 2$.
Determina el valor de $b$ sabiendo que al dividir el polinomio $R(x) = 3x^3 + bx^2 - 2x + 4$ entre $x - 1$ se obtiene el mismo resto que al dividirlo entre $x + 2$.
Varias condiciones a la vez
Algunos problemas dan dos o más condiciones sobre restos, con dos parámetros desconocidos: cada condición se traduce en una ecuación, y se resuelve el sistema.
Los ingresos diarios de una tienda, en cientos de euros, se aproximan mediante el polinomio $I(x) = -x^3 + 12x^2 - 20x + c$, donde $x$ es el número de días…
Los ingresos diarios de una tienda, en cientos de euros, se aproximan mediante el polinomio $I(x) = -x^3 + 12x^2 - 20x + c$, donde $x$ es el número de días transcurridos. Si el resto de dividir $I(x)$ entre $x - 5$ es $80$, halla el valor del término independiente $c$ usando el teorema del resto.
El diseño del perfil de la carrocería de un coche deportivo se modela matemáticamente mediante un polinomio $D(x) = x^4 + ax^3 + bx^2 - 4x + 4$. Para garantizar la…
El diseño del perfil de la carrocería de un coche deportivo se modela matemáticamente mediante un polinomio $D(x) = x^4 + ax^3 + bx^2 - 4x + 4$. Para garantizar la aerodinámica óptima, el polinomio debe ser divisible entre $x - 2$ y dejar un resto de $15$ al ser dividido entre $x + 1$. Plantea un sistema de ecuaciones utilizando el teorema del resto y calcula los valores de $a$ y $b$.