Números irracionales

Clasifica los siguientes números en racionales o irracionales, justificando tu respuesta en función de su expresión decimal:

• $A = 3,14159265\dots$ (sin ningún patrón de repetición)

• $B = -2,33333\dots$

• $C = \sqrt{16}$

• $D = \sqrt{15}$

• $E = 2,121121112\dots$

Indica si las siguientes afirmaciones son verdaderas o falsas. Si son falsas, escribe un contraejemplo que lo demuestre.

1. a) La suma de dos números irracionales siempre da como resultado un número irracional.
2. b) Todos los números con infinitas cifras decimales son irracionales.
3. c) El número $\pi$ se puede escribir exactamente como una fracción de dos números enteros.
4. d) El conjunto de los números reales $\mathbb{R}$ está formado por la unión de los racionales $\mathbb{Q}$ y los irracionales $\mathbb{I}$.

Sin utilizar la calculadora, averigua si el número $\sqrt{250}$ es racional o irracional. Justifica tu razonamiento acotándolo entre los cuadrados perfectos más cercanos.

Clasifica el resultado exacto de las siguientes operaciones como número racional o irracional, realizando primero el cálculo:

1. a) $\sqrt{2} \cdot \sqrt{8}$
2. b) $\sqrt{3} + \sqrt{3}$
3. c) $\frac{\sqrt{12}}{\sqrt{3}}$
4. d) $\sqrt{5} \cdot \sqrt{2}$

Asocia cada uno de los siguientes números irracionales famosos con su símbolo matemático y su valor aproximado a las milésimas:

• Números: Número de oro, Pi, Número de Euler.

• Símbolos: $\pi$, $e$, $\phi$.

• Valores: $2,718\dots$, $1,618\dots$, $3,141\dots$.

Representa de forma exacta en la recta real el número $\sqrt{10}$. Utiliza el teorema de Pitágoras para encontrar los catetos adecuados y describe los pasos de la construcción geométrica.

Escribe un número irracional expresado en forma de raíz cuadrada que esté comprendido entre las fracciones $\frac{1}{2}$ y $\frac{3}{4}$.

Determina a qué conjuntos numéricos ($\mathbb{N}$, $\mathbb{Z}$, $\mathbb{Q}$, $\mathbb{I}$, $\mathbb{R}$) pertenece el número $-\sqrt{81}$. Escribe todos los conjuntos de los que forma parte.

El periodo $T$ de un péndulo simple (el tiempo que tarda en hacer una oscilación completa de ida y vuelta) viene dado por la fórmula física $T = 2\pi \sqrt{\frac{L}{g}}$, donde $L$ es la longitud de la cuerda y $g$ la aceleración de la gravedad. Calcula el periodo exacto de un péndulo de $10$ metros de longitud suponiendo $g = 10 \text{ m/s}^2$. ¿El tiempo obtenido es un número racional o irracional?

Demuestra por reducción al absurdo que $\sqrt{2}$ es un número irracional. Para ello, asume que se puede escribir como una fracción irreducible $\frac{a}{b}$ (donde $a$ y $b$ no tienen divisores comunes) y llega a una contradicción analizando la paridad (si son pares o impares) de $a$ y de $b$.