Exercicis: Nombres irracionals

Classifica els nombres següents en racionals o irracionals, justificant la teva resposta en funció de la seva expressió decimal:

• $A = 3,14159265\dots$ (sense cap patró de repetició)

• $B = -2,33333\dots$

• $C = \sqrt{16}$

• $D = \sqrt{15}$

• $E = 2,121121112\dots$

Indica si les afirmacions següents són vertaderes o falses. Si són falses, escriu un contraexemple que ho demostri.

1. a) La suma de dos nombres irracionals sempre dona com a resultat un nombre irracional.
2. b) Tots els nombres amb infinites xifres decimals són irracionals.
3. c) El nombre $\pi$ es pot escriure exactament com una fracció de dos nombres enters.
4. d) El conjunt dels nombres reals $\mathbb{R}$ està format per la unió dels racionals $\mathbb{Q}$ i els irracionals $\mathbb{I}$.

Inventa i escriu l'expressió decimal de dos nombres irracionals diferents que estiguin compresos estrictament entre els valors $7,4$ i $7,5$.

Classifica el resultat exacte de les operacions següents com a nombre racional o irracional, fent primer el càlcul:

1. a) $\sqrt{2} \cdot \sqrt{8}$
2. b) $\sqrt{3} + \sqrt{3}$
3. c) $\frac{\sqrt{12}}{\sqrt{3}}$
4. d) $\sqrt{5} \cdot \sqrt{2}$

Associa cadascun dels nombres irracionals famosos següents amb el seu símbol matemàtic i el seu valor aproximat a les mil·lèsimes:

• Nombres: Nombre d'or, Pi, Nombre d'Euler.

• Símbols: $\pi$, $e$, $\phi$.

• Valors: $2,718\dots$, $1,618\dots$, $3,141\dots$.

Determina a quins conjunts numèrics ($\mathbb{N}$, $\mathbb{Z}$, $\mathbb{Q}$, $\mathbb{I}$, $\mathbb{R}$) pertany el nombre $-\sqrt{81}$. Escriu tots els conjunts de què forma part.

Escriu un nombre irracional expressat en forma d'arrel quadrada que estigui comprès entre les fraccions $\frac{1}{2}$ i $\frac{3}{4}$.

Sense utilitzar la calculadora, esbrina si el nombre $\sqrt{250}$ és racional o irracional. Justifica el teu raonament acotant-lo entre els quadrats perfectes més propers.

En una classe de 4t d'ESO, en Marcos afirma en veu alta durant la correcció: «El nombre $\sqrt{18}$ és racional perquè el $18$ és un nombre parell i, a més, si el calcules amb la calculadora dóna $4,242640687$, que acaba en $7$, per la qual cosa és un decimal exacte». Localitza els dos errors conceptuals comesos per en Marcos, explica detalladament per què el seu raonament és incorrecte en cada cas i classifica $\sqrt{18}$ en el conjunt corresponent ($\mathbb{Q}$ o $\mathbb{I}$) justificant la teva decisió a partir del concepte de quadrat perfecte.

L'Ajuntament de Sevilla ha delimitat parcel·les quadrades per a horts urbans comunitaris al Parque del Alamillo. Dues de les parcel·les contigües tenen superfícies de $36\text{ m}^2$ i $20\text{ m}^2$, respectivament. Per encarregar les tanques perimetrals, els tècnics necessiten conèixer la mesura exacta del costat de cada parcel·la.

1. a) Expressa la mesura exacta del costat de cada parcel·la mitjançant una arrel i classifica cadascun dels dos valors com a racional ($\mathbb{Q}$) o irracional ($\mathbb{I}$), justificant la teva resposta segons siguin o no quadrats perfectes.
2. b) L'encarregat de manteniment afirma que pot comprar una cinta mètrica estàndard i mesurar el costat de la parcel·la de $20\text{ m}^2$ de manera que la lectura coincideixi exactament amb el final de la tanca, sense que falti ni sobri res. Explica raonadament per què això és impossible des del punt de vista matemàtic.

Representa de manera exacta a la recta real el nombre $\sqrt{10}$.

1. a) Utilitza el teorema de Pitàgores per trobar dos nombres naturals que serveixin com a catets d'un triangle rectangle la hipotenusa del qual mesuri $\sqrt{10}$.
2. b) Descriu els passos de la construcció geomètrica amb regle i compàs per situar $\sqrt{10}$ sobre la recta real.

El format estàndard de les targetes de crèdit i del DNI s'aproxima en disseny a un "rectangle auri". Si el costat menor d'un DNI mesura $53,98$ mm, calcula la mesura exacta del costat major utilitzant la proporció àuria $\phi = \frac{1+\sqrt{5}}{2}$. El resultat exacte és un nombre racional o irracional?

El període $T$ d'un pèndol simple (el temps que triga a fer una oscil·lació completa d'anada i tornada) ve donat per la fórmula física $T = 2\pi \sqrt{\frac{L}{g}}$, on $L$ és la longitud de la corda i $g$ l'acceleració de la gravetat. Calcula el període exacte d'un pèndol de $10$ metres de longitud suposant $g = 10 \text{ m/s}^2$. El temps obtingut és un nombre racional o irracional?

Troba un nombre racional i un nombre irracional que estiguin compresos estrictament entre les aproximacions decimals $1,41$ i el valor exacte de $\sqrt{2}$. Justifica la teva resposta.

Realitza la següent operació algebraica utilitzant les identitats notables i classifica el resultat final indicant a quins conjunts numèrics pertany:

$(\sqrt{7} - \sqrt{3})(\sqrt{7} + \sqrt{3}) + (\sqrt{2})^2$

Representa a la recta real el nombre irracional $1 + \sqrt{5}$. Per a fer-ho:

1. a) Detalla quin triangle rectangle utilitzes per a la teva construcció justificant la mesura de la seva hipotenusa mitjançant el teorema de Pitàgores.
2. b) Indica des de quin punt de la recta numèrica has de començar a dibuixar l'arc per representar la suma $1 + \sqrt{5}$.
3. c) Fes la representació gràfica a la recta real.

Pots fer-ho en paper i enviar una foto amb la teva resposta.

Un camp de futbol té unes dimensions reglamentàries de $105$ m de llarg per $68$ m d'ample. Calcula la longitud exacta de la seva diagonal en metres. Es tracta d'un nombre racional o irracional? Si és irracional, indica entre quins dos nombres enters consecutius es troba.

En una circumferència de radi $r = 5$ cm s'inscriu un hexàgon regular. Calcula el perímetre exacte de l'hexàgon i la longitud exacta de la circumferència. Demostra que el quocient entre la longitud de la circumferència i el perímetre de l'hexàgon és un nombre irracional independent del radi.

Segons el reglament oficial de la Federació Espanyola de Bàsquet (FEB), la pista de joc reglamentària és un rectangle de $28\text{ m}$ de longitud per $15\text{ m}$ d'amplada. Durant una prova física, els àrbitres han d'esprintar en línia recta d'una cantonada a la cantonada oposada (al llarg de la diagonal).

1. a) Aplica el teorema de Pitàgores per plantejar l'expressió exacta de la longitud d'aquesta diagonal i justifica per què aquesta distància és un nombre irracional ($\mathbb{I}$).
2. b) Sense calcular l'arrel amb decimals, estima raonadament entre quins dos nombres enters consecutius de metres es troba la longitud d'aquesta diagonal. Mostra els quadrats de referència que utilitzes per fitar el resultat.
3. c) Un pulsòmetre amb GPS registra que la diagonal recorreguda mesura $31,76\text{ m}$. Valora si aquest resultat és coherent amb la teva estimació prèvia i explica per què la lectura del dispositiu és obligatòriament una aproximació racional i no la distància real exacta.

Resol les qüestions següents construint els nombres sol·licitats i justificant el teu procediment:

1. a) Escriu l'expressió decimal d'un nombre irracional comprès estrictament entre els nombres racionals $2,45$ i $2,46$. Per garantir que sigui irracional, descriu la regla o patró infinit no periòdic amb què generes les seves xifres decimals.
2. b) Troba un nombre natural $n$ comprès entre $40$ i $55$ tal que $\sqrt{n}$ sigui un nombre racional, i un altre nombre natural $m$ en aquest mateix interval tal que $\sqrt{m}$ sigui irracional. Justifica ambdues eleccions a partir de la definició de quadrat perfecte.
3. c) Dissenya una operació de multiplicació entre dos nombres irracionals diferents, $x$ i $y$, el resultat de la qual sigui un nombre enter. Explica per què el producte de dos irracionals no sempre és irracional.

Demostra per reducció a l'absurd que $\sqrt{2}$ és un nombre irracional. Per fer-ho, assumeix que es pot escriure com una fracció irreductible $\frac{a}{b}$ (on $a$ i $b$ no tenen divisors comuns) i arriba a una contradicció analitzant la paritat (si són parells o senars) de $a$ i de $b$.

Un rectangle auri té la propietat matemàtica que, si li treiem un quadrat format pel seu costat menor, el rectangle restant continua sent semblant al rectangle original. Si el costat menor mesura $1$ i el costat major mesura $x$, planteja l'equació de semblança $\frac{x}{1} = \frac{1}{x-1}$. Resol-la i demostra que la solució positiva és exactament el nombre irracional $\phi$.

Troba els valors racionals dels paràmetres $a$ i $b$ perquè es compleixi la següent igualtat:

$(a + 2\sqrt{5})(3 - b\sqrt{5}) = 11 - \sqrt{5}$

Representa de manera exacta a la recta real el nombre irracional $\sqrt{7}$. Com que $7$ no es pot expressar com a suma de dos quadrats perfectes de nombres enters, no és possible aplicar directament el Teorema de Pitàgores amb catets enters. En el seu lloc, utilitza el Teorema de l'Altura construint una semicircumferència sobre la recta real, tal com s'il·lustra a l'esquema conceptual de la figura.

1. a) Justifica com descompondre $7$ en producte de dos factors enters positius, $m$ i $n$, perquè l'altura sobre la hipotenusa mesuri $h = \sqrt{7}$.
2. b) Si situes el punt d'unió entre ambdós segments a l'origen de coordenades ($0$), determina les coordenades dels dos extrems del diàmetre, la posició del centre de la semicircumferència sobre l'eix i la mesura del seu radi.
3. c) Descriu detalladament els passos geomètrics necessaris per traçar la semicircumferència, aixecar l'altura i traslladar amb el compàs la mesura exacta de $\sqrt{7}$ sobre el semieix positiu.

Demostra utilitzant contraexemples que el conjunt dels nombres irracionals ($\mathbb{I}$) no és tancat respecte a les quatre operacions aritmètriques bàsiques. És a dir, troba dos nombres irracionals tals que la seva suma, la seva resta, la seva multiplicació i la seva divisió donin com a resultat un nombre racional en cadascun dels quatre casos.

Troba dos nombres irracionals $x$ i $y$ tals que la potència $x^y$ sigui un nombre racional.

La diagonal espacial d'un cub (el segment que uneix dos vèrtexs oposats passant pel centre del cub) mesura exactament $\sqrt{12}$ cm. Calcula de forma exacta la superfície total i el volum del cub. Classifica els resultats finals obtinguts com a nombres racionals o irracionals.

Determina per a quins valors enters positius de $n$ l'expressió $\sqrt{n^2 + 5n + 6}$ resulta ser un nombre racional.

Per esbrinar si el nombre real $N = \sqrt{11 - 6\sqrt{2}} + \sqrt{2}$ és racional o irracional, dos estudiants de 4t d'ESO proposen estratègies diferents:

• Estratègia d'en David: Introdueix l'expressió a la calculadora científica, obté a la pantalla el valor $3$ i conclou que el nombre és racional perquè el resultat no mostra xifres decimals.

• Estratègia de la Sara: Sospita que el radicand $11 - 6\sqrt{2}$ prové del desenvolupament del quadrat d'una resta. Calcula algebraicament $(3 - \sqrt{2})^2$ per comprovar-ho i simplifica l'arrel doble abans de classificar el nombre.

1. a) Analitza críticament ambdues estratègies: explica per què la calculadora d'en David no serveix com a demostració matemàtica rigorosa en aquest tipus de problemes i quin avantatge conceptual aporta el mètode de la Sara.
2. b) Desenvolupa els càlculs de l'estratègia de la Sara per obtenir el valor exacte i simplificat de $N$. Classifica'l definitivament a $\mathbb{Q}$ o a $\mathbb{I}$.
3. c) A partir del que has observat, formula una conclusió general sobre el risc de classificar un nombre amb radicals abans d'haver simplificat completament la seva expressió.

Una empresa instal·la suports triangulars per a panells solars en una nau industrial de Toledo seguint les pautes d'inclinació de l'IDAE (Institut per a la Diversificació i Estalvi de l'Energia). Cada suport lateral té forma de triangle rectangle, on la base horitzontal mesura exactament $1,6\text{ m}$ i la biga inclinada (hipotenusa) mesura $2,0\text{ m}$.

1. a) Modela la situació calculant l'altura vertical exacta $h$ del suport en metres (en forma d'arrel). Expressa el radicand com una fracció irreductible i demostra raonadament si aquesta altura $h$ és un nombre racional ($\mathbb{Q}$) o irracional ($\mathbb{I}$).
2. b) Un operari afirma: «Com que les dades de partida $1,6$ i $2,0$ són decimals exactes amb una sola xifra decimal, l'altura $h$ també ha de ser un decimal exacte: exactament $1,2\text{ m}$». Demostra algebraicament si $h = 1,2\text{ m}$ és el valor exacte o només una aproximació errònia.
3. c) La normativa municipal d'urbanisme exigeix que l'altura vertical de l'estructura no superi $\sqrt{1,5}\text{ m}$. Sense recórrer al càlcul decimal aproximat amb calculadora, determina raonadament si l'estructura compleix la norma comparant directament els quadrats d'ambdues mesures.