Fracciones y decimales
La calculadora dice que $\frac{1}{3} = 0{,}3333333$ y se queda tan tranquila. Pero tú sabes que ese 3 sigue para siempre. ¿Cómo se escribe eso sin tinta infinita? ¿Y cómo se recupera la fracción si solo tienes el decimal? Aquí lo vas a ver, y de paso vas a ordenar en tu cabeza todos los tipos de números que conoces.
De fracción a decimal
Para pasar una fracción a decimal basta con dividir el numerador entre el denominador. Lo interesante es qué tipo de decimal sale:
| Tipo | Ejemplo | Cómo es |
|---|---|---|
| Exacto | $\frac{3}{8} = 0{,}375$ | Tiene un número finito de decimales. |
| Periódico puro | $\frac{5}{11} = 0{,}454545\ldots = 0{,}\overline{45}$ | El grupo que se repite (el periodo) empieza justo después de la coma. |
| Periódico mixto | $\frac{7}{6} = 1{,}1666\ldots = 1{,}1\overline{6}$ | Antes del periodo hay cifras que no se repiten (el anteperiodo). |
El periodo se marca con una raya encima: $0{,}\overline{45}$. En algunos libros se usa un arco: $0{,}\widehat{45}$. Significan lo mismo.
¿Por qué se repiten las cifras?
Al dividir entre 7, el resto solo puede ser 0, 1, 2, 3, 4, 5 o 6. Si nunca sale 0, tarde o temprano un resto se repite, y a partir de ahí la división vuelve a dar las mismas cifras. Mira la "rueda de restos" de $1 : 7$:
Clasifica los siguientes números decimales según sean decimales exactos, periódicos puros o periódicos mixtos. Después, convierte los dos primeros (apartados a y b) en…
Clasifica los siguientes números decimales según sean decimales exactos, periódicos puros o periódicos mixtos. Después, convierte los dos primeros (apartados a y b) en su correspondiente fracción generatriz.
- a) $2,5$
- b) $1,333...$
- c) $4,1252525...$
- d) $0,08$
Observa la siguiente ilustración que representa el nivel de carga de la batería de un teléfono móvil. 1. Escribe la fracción que representa la parte cargada de la…
Observa la siguiente ilustración que representa el nivel de carga de la batería de un teléfono móvil.
-
Escribe la fracción que representa la parte cargada de la batería respecto al total.
-
Simplifica dicha fracción hasta obtener su fracción irreducible.
-
Si la batería tiene una capacidad total de $4000 \text{ mAh}$, ¿cuántos mAh de energía quedan disponibles?
De decimal a fracción: la fracción generatriz
Todo decimal exacto o periódico viene de una fracción, que se llama su fracción generatriz. Veamos cómo encontrarla en cada caso.
Exacto. Se pone el número sin coma en el numerador y un 1 seguido de tantos ceros como decimales en el denominador. Luego se simplifica.
$$3{,}75 = \frac{375}{100} = \frac{15}{4}$$Periódico. El truco es multiplicar por una potencia de 10 para que, al restar, los periodos infinitos se anulen.
Calcula la fracción irreducible equivalente a cada uno de los siguientes porcentajes y números decimales. a) $25\%$ b) $0,75$ c) $10\%$ d) $1,5$
Calcula la fracción irreducible equivalente a cada uno de los siguientes porcentajes y números decimales.
- a) $25\%$
- b) $0,75$
- c) $10\%$
- d) $1,5$
Calcula el valor exacto de la siguiente expresión, convirtiendo primero todos los números decimales a su fracción generatriz. No utilices aproximaciones decimales…
Calcula el valor exacto de la siguiente expresión, convirtiendo primero todos los números decimales a su fracción generatriz. No utilices aproximaciones decimales durante el proceso.
$$ \frac{1,2 - 0,\widehat{6}}{1 - 0,8\widehat{3}} : 3^{-1} $$Porcentajes, fracciones y decimales
Un porcentaje es una fracción con denominador 100: 25 % significa $\frac{25}{100} = \frac{1}{4} = 0{,}25$. Las tres formas son el mismo número.
Para calcular un porcentaje de una cantidad, multiplica por el decimal: el 15 % de 80 € es $80 \cdot 0{,}15 = 12$ €. Para saber qué porcentaje es una parte, divide y multiplica por 100: 12 de 80 es $\frac{12}{80} = 0{,}15 = 15\,\%$.
En un instituto de 500 alumnos, se ha realizado una encuesta sobre sus deportes favoritos. Los resultados son los siguientes: $\frac{1}{2}$ de los alumnos prefiere el…
En un instituto de 500 alumnos, se ha realizado una encuesta sobre sus deportes favoritos. Los resultados son los siguientes:
-
$\frac{1}{2}$ de los alumnos prefiere el fútbol.
-
$\frac{3}{10}$ de los alumnos prefiere el baloncesto.
-
El resto de los alumnos prefiere otros deportes.
- a) ¿Cuántos alumnos prefieren el fútbol?
- b) ¿Cuántos alumnos prefieren el baloncesto?
- c) ¿Qué fracción del total de alumnos prefiere "otros deportes"?
Todos los números: de los naturales a los reales
Cada vez que una operación "no se podía hacer", los matemáticos ampliaron los números:
-
Con los naturales $\mathbb{N} = \{0, 1, 2, 3, \ldots\}$ no puedes hacer $3 - 5$.
-
Por eso aparecen los enteros $\mathbb{Z} = \{\ldots, -2, -1, 0, 1, 2, \ldots\}$. Pero con ellos no puedes hacer $3 : 5$.
-
Así llegan los racionales $\mathbb{Q}$: todos los que se escriben como fracción (decimales exactos y periódicos).
-
Y aun así faltan números: los irracionales $\mathbb{I}$, decimales con infinitas cifras sin periodo, como $\sqrt{2} = 1{,}41421356\ldots$ o $\pi = 3{,}14159265\ldots$
-
Racionales e irracionales juntos forman los reales $\mathbb{R}$: todos los puntos de la recta.
¿Dónde está $\sqrt{2}$ en la recta?
Aunque sus decimales no acaben nunca, $\sqrt{2}$ tiene un sitio exacto en la recta. Dibuja un cuadrado de lado 1: por el teorema de Pitágoras, su diagonal mide $\sqrt{1^2 + 1^2} = \sqrt{2}$. Con el compás llevas esa diagonal a la recta:
Clasifica los siguientes números en el conjunto numérico más pequeño al que pertenecen ($\mathbb{N}$, $\mathbb{Z}$ o $\mathbb{Q}$) y, para aquellos que sean decimales…
Clasifica los siguientes números en el conjunto numérico más pequeño al que pertenecen ($\mathbb{N}$, $\mathbb{Z}$ o $\mathbb{Q}$) y, para aquellos que sean decimales (exactos o periódicos), halla su fracción generatriz simplificada.
- a) $4,25$
- b) $-7$
- c) $3,1\widehat{6}$
- d) $5,\widehat{27}$
- e) $-\frac{18}{3}$
Una vez obtenidas las fracciones, ordénalas de menor a mayor.
Encuentra dos números racionales y dos números irracionales que se encuentren estrictamente comprendidos en el intervalo: $$ \left( \frac{13}{9} \, , \, 1,4\widehat{5}…
Encuentra dos números racionales y dos números irracionales que se encuentren estrictamente comprendidos en el intervalo:
$$ \left( \frac{13}{9} \, , \, 1,4\widehat{5} \right) $$Explica detalladamente el procedimiento que has seguido para encontrarlos y demuestras que, efectivamente, pertenecen a dicho intervalo.