Números reales, primer contacto

Clasifica los siguientes números indicando a cuáles de los conjuntos numéricos ($\mathbb{N}, \mathbb{Z}, \mathbb{Q}, \mathbb{I}, \mathbb{R}$) pertenecen. Ten en cuenta que un número puede pertenecer a más de un conjunto.

• $A = -8$

• $B = 3,14159...$ (con infinitas cifras no periódicas)

• $C = \sqrt{25}$

• $D = 4,3\overline{5}$

• $E = \frac{\pi}{2}$

Indica si las siguientes afirmaciones son verdaderas o falsas, justificando brevemente tu respuesta:

• La unión del conjunto de los números racionales y los irracionales forma el conjunto de los números reales ($\mathbb{Q} \cup \mathbb{I} = \mathbb{R}$).

• Todo número decimal puede expresarse como una fracción.

• El conjunto de los números enteros está incluido en el conjunto de los números naturales ($\mathbb{Z} \subset \mathbb{N}$).

Expresa los siguientes conjuntos de números reales mediante desigualdades y represéntalos mentalmente en la recta real:

• El intervalo $[-4, 7)$

• La semirrecta $(-\infty, 3]$

• El entorno $E(0, 5)$

Expresa en forma de intervalo los siguientes conjuntos de números definidos mediante desigualdades:

• $\{x \in \mathbb{R} \mid -2 < x \leq 9\}$

• $\{x \in \mathbb{R} \mid x \geq -5\}$

• $\{x \in \mathbb{R} \mid |x| < 4\}$

Dados los siguientes intervalos y semirrectas de números reales:

$A = [-5, 4)$

$B = (1, 8]$

$C = (-\infty, 2]$

Calcula y expresa como un solo intervalo o semirrecta el resultado de las siguientes operaciones:

• $A \cup B$

• $A \cap B$

• $B \cap C$

Calcula la distancia en la recta real entre los siguientes pares de puntos utilizando el valor absoluto:

• $A(-9)$ y $B(3)$

• $C(4,5)$ y $D(-2,1)$

• $E\left(\frac{1}{2}\right)$ y $F\left(\frac{7}{2}\right)$

En un laboratorio de biología, una enzima solo se mantiene activa si la temperatura $T$ (en grados Celsius) de la incubadora cumple la condición estricta de estar a una distancia de $37,5^\circ\text{C}$ inferior a $1,2^\circ\text{C}$.

• Expresa esta condición mediante una desigualdad con valor absoluto.

• Expresa el rango de temperaturas aceptables como un entorno $E(a, r)$.

• Expresa el rango de temperaturas como un intervalo.

Resuelve la siguiente ecuación con valor absoluto y representa el conjunto de sus soluciones sobre la recta real:

$|3x - 6| = 12$

Expresa mediante la unión de dos intervalos el conjunto de números reales cuya distancia al origen de coordenadas es estrictamente mayor que $5$.

Indica la longitud que deben tener los catetos de un triángulo rectángulo para poder representar exactamente en la recta real los siguientes números irracionales, haciendo uso del Teorema de Pitágoras:

• $\sqrt{10}$

• $\sqrt{17}$

• $\sqrt{2}$

Representa geométricamente y de forma exacta el número irracional $\sqrt{8}$ sobre la recta real. Para ello, descompón el radicando en una suma de dos cuadrados perfectos y detalla los pasos de tu construcción.

El número de oro, denotado por la letra griega $\phi$ (fi), es un número irracional que aparece frecuentemente en el arte, la arquitectura y la naturaleza. Su valor exacto es $\phi = \frac{1+\sqrt{5}}{2}$.

• Sabiendo que $\sqrt{5} \approx 2,23606$, calcula el valor aproximado de $\phi$ redondeado a cuatro cifras decimales.

• Explica detalladamente los pasos geométricos que seguirías para representar el número $\phi$ de forma exacta en la recta real.

Los números reales son densos, lo que significa que entre dos números reales siempre hay infinitos números reales.

Encuentra dos números racionales y dos números irracionales que estén estrictamente comprendidos entre $5,1$ y $5,2$.

Dado el número irracional $\sqrt{11} \approx 3,31662479...$:

• Escribe su aproximación por truncamiento a las milésimas.

• Escribe su aproximación por redondeo a las milésimas.

• Calcula el error absoluto cometido en la aproximación por redondeo.

Sea el número $a = 1,9999...$ (con infinitos nueves en su parte decimal) y el número $b = 2$.

• Expresa el número $a$ en forma de fracción generatriz.

• Basándote en el resultado anterior, ¿existe algún número real estrictamente comprendido entre $a$ y $b$? Justifica tu respuesta razonando sobre la densidad de los números reales.

Justifica si las siguientes afirmaciones son siempre ciertas, a veces ciertas o nunca ciertas, proporcionando un ejemplo en cada caso:

• La suma de dos números irracionales da como resultado un número irracional.

• El producto de un número racional distinto de cero por un número irracional es irracional.

• El cuadrado de un número irracional es un número racional.

Demuestra por reducción al absurdo que $\sqrt{3}$ es un número irracional. Para ello, asume que $\sqrt{3}$ es racional, es decir, que se puede expresar como una fracción irreducible $\frac{p}{q}$ (donde $p$ y $q$ son enteros sin divisores comunes). Eleva al cuadrado ambos términos y analiza la paridad o divisibilidad entre 3 de $p$ y $q$ para llegar a una contradicción.